Als Beispiel werden die Mengen , aufgeführt und die Obermenge .
Bezeichnung
Lösung
Verbal
Vereinigung
Zusammenfassung aller Elemente die in oder in oder in beiden vorkommen.
Durchschnitt
Zusammenfassung aller Elemente die in UND vorkommen.
Differenz
Zusammenfassung aller Elemente die in aber nicht in vorkommen.
Zusammenfassung aller Elemente die in aber nicht in vorkommen.
Komplementärmenge
.
Zusammenfassung aller Elemente aus einer gegebenen Grundmenge , die nicht zur Menge gehören.
Zusammenfassung aller Elemente aus einer gegebenen Grundmenge , die nicht zur Menge gehören.
Rechenregeln für Mengen
Bezeichnung
Formal
Verbal
Kommutativgesetz
Argumente einer Operation können vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.
Gültig für: Vereinigung und Durchschnitt
Assoziativgesetz
Verkettung von mathematischen Operationen können in jeder beliebigen Reihenfolge durchgeführt werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.
Gültig für: Vereinigung und Durchschnitt
Distributivgesetz
Vereinfachte Darstellung bei der Verkettung von Operationen, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert.
Gültig für: Vereinigung, Durchschnitt und Differenz
Regeln von de Morgan
Regel die angewandt werden kann um auch hier eine vereinfachte Darstellung zu erhalten.
2. Reelle Zahlen
Reelle Zahlen umfassen sowohl die rationalen Zahlen (als Bruch darstellbar; endlich oder periodisch) , sowie die irrationalen Zahlen (nicht als Bruch darstellbar; unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen).
Beispiel
Bekannte Beispiele für irrationale Zahlen sind und die Kreiszahl denn diese sind nicht als Bruch darstellbar und haben unendlich viele, nicht periodische Nachkommastellen. Hingegen ist als Bruch darstellbar und periodisch und gehört deswegen den rationalen Zahlen an.
Reelle Zahlen
= { x | x ist eine rationale oder irrationale Zahl}
WICHTIG: Bei der Multiplikation bzw. Division einer Ungleichung mit einer negativen Größe, kehrt sich das Ungleichzeichen um.
Einfache Ungleichungen
: Wie bei Gleichungen nach auflösen. Bei Multiplikation mit negativer Größe das Ungleichzeichen umdrehen. Ergebnis: . Angabe der Lösungsmenge: .
Bruchungleichungen
1. Zunächst wird der Nenner betrachtet. Da hier bei dieser Null wird und durch Null nicht geteilt werden darf, muss hier als Lösung ausgeschlossen werden:
2. Es wird dann als nächstes alles auf eine Seite gebracht:
3. Und alles auf einen Nenner gebracht:
4. Fallunterscheidung vornehmen:
Da muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Zum einen für und zum anderen für .
Für den Fall, dass in den Nenner eingesetzt wird, wird der Nenner positiv.
Für den Fall, dass in den Nenner eingesetzt wird, wird der Nenner negativ.
Es wird nun die obige Gleichung mit dem Nenner auf beiden Seiten multipliziert:
|
4a) Es wird nun zunächst die Lösungsmenge für geprüft. Dort wurde der Nenner positiv. Hier wird wie bei den obigen Ungleichungen vorgegangen. Da mit einem positiven Wert multipliziert wird, bleibt die Ungleichung bestehen:
Diese Ungleichung ist für nicht erfüllbar. Werden Werte größer als 2 eingesetzt, so resultiert niemals ein Wert kleiner als -5. Diese Lösungsmenge ist leer.
4b) Als nächstes wird die Lösungsmenge für geprüft. Hier wird der Nenner negativ. Es wird also mit einem negativen Wert multipliziert und demnach muss das Ungleichzeichen umgedreht werden:
Für kann die Ungleichung erfüllt werden:
Betragsungleichungen
1. Der Betragsterm wechselt bei (auflösen nach ) sein Vorzeichen. Das bedeutet also bei wird der Betragsterm negativ, wohingen bei der Betragsterm positiv wird.
2. Der Betragsterm wechselt bei sein Vorzeichen. Das bedeutet, dass bei der Betragsterm positiv wird und bei negativ.
3. Es werden nun die folgenden Fälle betrachtet:
1. Fall: , 2. Fall: , 3. Fall:
4. Fallunterscheidung vornehmen:
4a) 1.Fall:
Bei wird der 1 Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm negativ. (Ungleichheitszeichen muss bei der Umformung umgedreht werden).
Da für die Ungleichung nicht erfüllt werden kann, ist die Lösungsmenge leer.
4b) 2. Fall:
Bei wird der 1 Betragsterm positiv und der 2. Betragsterm positiv. (Ungleichheitszeichen muss bei der Umformung umgedreht werden).
Unter der Voraussetzung erhält man als Teillösung:
4c) 3. Fall:
Bei wird der 1 Betragsterm negativ und der 2. Betragsterm positiv. (Ungleichheitszeichen wird bei der Umformung nicht umgedreht).
Es existiert auch hier eine Lösung, da und eine Lösung angeben:
Intervalle
Bezeichnung
Beispiel
Beschreibung
Offenes Intervall
Beinhaltet die Randpunkte und nicht.
Geschlossenes Intervall
Beinhaltet die Randpunkt und
Halboffenes Intervall
Beinhaltet den Randpunkt nicht, aber den Randpunkt .
Beinhaltet den Randpunkt aber nicht den Randpunkt .
Unendliches Intervall
Analog dazu und .
Geschlossene rechte Grenze und eine linke unendliche Grenze.
Geschlossene linke Grenze und eine rechte unendliche Grenze.
Supremum, Infimum, Maximimum, Minimum
Supremum ist die obere Schranke eines Intervalls. Es ist auch gleichzeitig das Maximum, wenn es sich um eine geschlossene rechte Grenze des Intervalls handelt.
Infimum ist die untere Schranke eines Intervalls. Es stellt auch glechzeitig ein Minimum dar, wenn es sich um eine geschlossene lonke Grenze des Intervalls handelt.
Intervall
Infimum, Minimum
Supremum, Maximum
Infimum
Supremum
Infimum
Supremum, Maximum
8b \not\in 0A(n)A(n+1)$
Sind 1. und 2. erfüllt so ist der Beweis erbracht.
Beispiel zur vollständigen Induktion:
Aussage:
Formal:
1. Induktionsschritt:
, .
(linke Seite):
(rechte Seite):
2. Induktionsschritt:
und [Aussage stimmt]
[Aussage stimmt]
Dies lässt sich bis unendlich (theoretisch) fortführen. Es wird statt dem Einsetzen von stattdessen eingesetzt und geschaut, ob die linke und rechte Seite äquivalent sind. Es wird mit der linken Seite begonnen:
:
Dies kann man auch schreiben zu:
Es wird demnach von die Summe gebildet und für hinten draufaddiert.
Einsetzen von: :
Für die rechte Seite wird direkt für eingesetzt:
Es ist deutlich zu erkennen, dass sowohl die rechte als auch die linke Seite äquivalent sind.
Fakultät
Beispiele:
Binominalkoeffizient
Es gilt:
(1) , .
(2)
-Es gibt Möglichkeiten aus insgesamt Elementen genau auszuwählen.
Beispiel: Binominalkoeffizient
Beim Lotto >>6 aus 49<< werden aus den 49 Zahlen 6 Zahlen gezogen. Es gibt
verschiedene Möglichkeiten 6 "Richtige" zu ziehen.
2. Vektorrechnung
Ortsvektoren beginnen immer im Ursprung und zeigen auf einen bestimmten Punkt. Z.B. beginnt der Vektor im Ursprung und zeigt auf den Punkt .
Addition von Vektoren
Subtraktion von Vektoren
Skalieren eines Vektors
Vektor wird länger
Vektor wird kleiner
Vektor dreht sich um 90°
Länge eines Vektors
Berechnung des Einheitsvektors
zu einem Vektor
Berechnung eines Vektors
zwischen zwei Punkten
und .
Die Ortsvektoren zu den Punkten und sind:
und .
Dreiecksungleichung
Skalarprodukt
:=
bzw.
Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren
Orthogonale Zerlegung von längs
mit
Vektorprodukt
xx
Spatprodukt
xx
Hinweis
Hier endet die Formelsammlung und auch der Kurs Höhere Mathematik 1.
Ich wünsche dir viel Erfolg für deine Prüfung und dein Studium.
Jessica
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