Hierbei handelt es sich um Integrale, deren Integrand am Rand oder im Innern des Integrationsintervalls an mindestens einer Stelle unbeschränkt ist [eine Polstelle besitzt].
Befindet sich die Polstelle am Rand , so ist die Funktion wie folgt :
, ist hier die Polstelle der Funktion .
Als einseitiger Grenzwert von bestimmten Integralen ist das uneigentliche Integral wie folgt definiert:
Methode
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nähert sich in diesem Fall ausschließlich von links der "kritischen Stelle" .
Wäre die untere Integrationsgrenze die Polstelle , so würde man sich dem Grenzwert von rechts nähern:
Methode
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Beispiel
Hier klicken zum AusklappenBetrachte das Integral: .
Integrale mit unbeschränkten Integranden
Es ist direkt ersichtlich, dass eine kritische Stelle darstellt, da die Wurzel aus Null nicht möglich ist: D.h. die Funktion ist an der Stelle nicht definiert Polstelle.
1. Umformung der Wurzel
.
2. Betrachte den einseitigen Grenzwert
3. Berechne das bestimmte Integral
4. Bestimme den Grenzwert
Der Flächeninhalt der Funktion im Intervall beträgt .
Besitzt der Integrand im Inneren des Integrationsintervalls eine Polstelle , so muss das Integral an dieser Polstelle erneut in 2 Uneigentliche Integrale aufgespalten werden. Hierbei ist für das eine Integral die obere und für das andere Integral die untere Grenze. Auch hier gilt: Liefert das Ergebnis, dass beide uneigentlichen Teilintegrale einen endlichen Wert besitzen, so existiert auch das Gesamtintervall.
