Invertierbare Matrix

Eine Matrix mit    Elementen heißt invertierbar, wenn eine Matrix mit    Elementen existiert, so dass gilt:

ist die Inverse Matrix von A. 

Zum besseren Verständnis zeigen wir dir ein Beispiel.

Damit man eine Einheitsmatrix erhält, muss die Inverse die Form

haben. In diesem einfachen Beispiel wurde eine Diagonalmatrix verwendet, da diese immer invertierbar ist. Dies muss aber für andere Matrizen nicht der Fall sein. Zudem ist es relativ selten, dass die Inverse einer ganzzahligen Matrix erneut ganzzahlig wird. 

Berechnung der Inversen mithilfe des Gauß-Jordan Algorithmus

Eine Inverse für kleine Matrizen kann mit Hilfe des Gauß-Jordan Algorithmus bestimmt werden. Hierzu bedient man sich der elementaren Zeilenumformung. 

Man beginnt damit, die vorhandene Matrix in die Einheitsmatrix zu überführen und führt diese Schritte analog mit der Einheitsmatrix durch, die hierdurch zur Inversen von wird:

1. Subtrahiere den dreifachen Wert der ersten Zeile von der zweiten Zeile:

,

2. Addiere den dreifachen Wert der dritten Zeile zu der zweiten Zeile:

,

3. Subtrahiere den Wert der dritten Zeile von der ersten Zeile:

,

4. Subtrahiere den zweifachen Wert der zweiten Zeile von der dritten Zeile:

,

Links steht nur die Einheitsmatrix

und rechts die Inverse Matrix .

Mit ein wenig Übung und Probieren kannst du so die Inverse bestimmen.