Lineare Abhängigkeit im R²

Zwei Vektoren im R²

Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Daraus folgt für die lineare Abhängigkeit, dass nicht beide den Wert Null annehmen dürfen.

Alternativ kann bei zwei Vektoren die folgende Definition verwendet werden:

Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn einer der Vektoren sich als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Es gilt also:

• Zwei Vektoren im sind genau dann linear abhängig, wenn sie ein Vielfaches voneinander darstellen.
  
  
• In der graphischen Darstellung gilt, dass zwei Vektoren im genau dann linear abhängig sind, wenn diese parallel zueinander sind.

Anwendungsbeispiel

Dazu betrachten wir zunächst als einfaches Beispiel die Einheitsvektoren im .

Da die beiden Einheitsvektoren nicht parallel zueinander sind und im liegen, sind diese unabhängig voneinander. 

Berechnung:

Zwei Vektoren und sind genau dann linear abhängig, wenn sich der Nullvektor durch eine Linearkombination der Vektoren erzeugen lässt:

Wir können nun beide Vektoren zusammenfassen und die Determinante bestimmen. Ist die Determinante gleich null, so sind beide Vektoren linear abhängig voneinander. 

Die Determinante einer -Matrix berechnet sich wie folgt:

Da die Determinante ungleich null ist, sind beide Vektoren voneinander unabhängig.

Alternative Berechnung:

Die beiden Vektoren sind genau dann linear abhängig, wenn sich einer der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors darstellen lässt:

Lineares Gleichungsystem:

(1)     Leere Menge

(2)    

In der ersten Gleichung (1) existiert keine Lösung, da linke und rechte Seite nicht gleich sind. Es gibt also keinen Wert für die Variable , welche die linke Seite (=1) ergeben würde. Die Lösungsmenge ist daher leer. Aus der zweiten Gleichung (2) erhalten wir . Da nicht überall den selben Wert annimmt, sind die beiden Vektoren voneinander unabhängig, ebenso wenn überall den Wert null annimmt. (D. h. die beiden Vektoren sind also nur dann linear abhängig voneinander, wenn denselben Wert annimmt und dieser ungleich Null ist.)

Drei und mehr Vektoren im R²

Sind im zwei unabhängige Vektoren gegeben, so ist jeder weitere Vektor im linear abhängig von diesen beiden Vektoren. 

Anwendungsbeispiel

Wir zeigen dies anhand eines Beispiels.

Beide Vektoren sind voneinander unabhängig, weil der Vektor sich nicht als Linearkombination des Vektors darstellen lässt:

Wir stellen das Gleichungssystem auf und lösen auf nach :

Es resultieren zwei unterschiedliche Werte für . Demnach sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Es gibt also kein , welches mit dem Vektor multipliziert den Vektor als Ergebnis hat (und anders herum).

Betrachten wir nun einen dritten Vektor , so ist dieser linear abhängig von den Vektoren und , da er sich als Linearkombination der Vektoren und darstellen lässt.

Lineares Gleichungssystem:

(1)   

(2)   

Gleichung (1) nach auflösen:

Einsetzen in Gleichung (2) liefert:

Nach auflösen:

in die umgeformte Gleichung (1) einsetzen:

und

Der Vektor kann mithin als Linearkombination der beiden Vektoren und dargestellt werden und ist damit linear abhängig.

Zusammenfassung:

• Sind zwei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit indem der eine Vektor als Linearkombination des anderen Vektors dargestellt wird. Die Auflösung nach zeigt dann an, ob die Vektoren linear abhängig oder unabhängig voneinander sind:
  
  nimmt unterschiedliche Werte an.   linear unabhängig
  nimmt den Wert Null an.   linear unabhängig
  nimmt einen Wert ungleich Null an.   linear abhängig

• Sind drei Vektoren im R² gegeben, so bestimmt sich die lineare Abhängigkeit, indem einer der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden Vektoren dargestellt wird. 
  
  Alle nehmen den Wert Null an.    linear unabhängig
  Mindestens ein nimmt nicht den Wert Null an.  linear abhängig