Skalarprodukt und Winkel

Sind zwei Vektoren und (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel , welcher von  und eingeschlossen wird mit .

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren  und ergibt eine Zahl (Skalar).

Für die Berechnung des Skalarprodukts im kartesischen Koordinatensystem verwendet man folgende Formel, bei der der Winkel zwischen den beiden Vektoren nicht bekannt sein muss:

Für die geometrische Berechnung verwendet man die Formel, die den Winkel zwischen den beiden Vektoren enthält:

Die Zahl ergibt sich folgendermaßen:

Projiziert man den Vektor auf den Vektor , so ergibt sich ein Vektor (siehe Grafik unten). Der neue Vektor  besitzt die Länge . Multipliziert man diese Länge mit (Länge des Vektors ) , so erhält man .

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt

Es werden zunächst die beiden Vektoren und eingezeichnet. Der Winkel zwischen den Vektoren und beträgt :

Es wird als nächstes das Skalarprodukt berechnet durch:

Winkelberechnung

Das Ablesen des Winkels (wie im obigen Beispiel) ist selten möglich. Deswegen kann man das Skalarprodukt    aus den Koordinaten der Vektoren und berechnen und daraus den Winkel ermitteln.

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt ohne Kenntnis des Winkels

Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:

Die Berechnung des Winkels erfolgt dann mit der Formel aus der Merkebox: