Skalarprodukt

Sind zwei Vektoren und (also vom Nullvektor verschieden), so existiert ein Winkel , welcher von  und eingeschlossen wird mit .

In der obigen Grafik sind je zwei Vektoren gegeben mit einem eingeschlossenen Winkel . Links ist ein spitzer Winkel veranschaulicht, welcher durch ein positives Skalarprodukt angezeigt wird, der stumpfe Winkel rechts wird durch ein negatives Skalarprodukt gekennzeichnet.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren  und ergibt eine Zahl (Skalar) und kann wie folgt berechnet werden:

Die Zahl ergibt sich also folgendermaßen:

Projiziert man den Vektor auf den Vektor , so ergibt sich ein Vektor (siehe Grafik unten). Der neue Vektor  besitzt die Länge . Multipliziert man diese (Länge des Vektors ), so erhält man das Skalarprodukt .

Die Projektion ist natürlich ebenfalls umgekehrt durchführbar und führt zum selben Ergebnis. Der gestrichelte Vektor zeigt an, dass der Vektor auf den Vektor projiziert wird. Der gestrichelte Vektor zeigt dabei in einem 90°-Winkel auf den Vektor .

Winkelberechnung

Das Ablesen des Winkels ist selten möglich. Deswegen kann man das Skalarprodukt    aus den Koordinaten der Vektoren und berechnen und daraus den Winkel ermitteln.

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt und Winkelberechnung

Das Skalarprodukt kann ohne Kenntnis des Winkels wie folgt berechnet werden:

Es liegt ein positives Skalarprodukt vor, d.h. es liegt ein spitzer Winkel zwischen den beiden Vektoren vor. Der Winkel liegt also zwischen 0° und 90°.

Die Berechnung des Winkels erfolgt dann mit der folgenden Formel:

Der Winkel zwischen den beiden Vektoren beträgt :

Anwendungsbeispiel: Skalarprodukt

Das Skalarprodukt ergibt sich zu:

Das Skalarprodukt ist Null, d.h. dass die beiden Vektoren in einem rechten Winkel (90°-Winkel) zueinander stehen.

Auch ohne Berechnung des Skalarproduktes ist erkennbar, dass beide Vektoren in einem rechten Winkel zueinander stehen, weil der Vektor auf der -Achse und der Vektor auf der -Achse liegt.