Dreiecksungleichung

Die DreiecksUngleichung besagt, dass die Summe zweier Seiten eines Dreiecks mindestens so groß ist wie die andere Dreiecksseite.

Analog dazu: Eine Dreiecksseite ist höchstens so lang wie die Summe der beiden anderen Seiten ist. Es muss hier der Betrag der Längen betrachtet werden:

Für Vektoren gilt analog:

Beweis der Dreiecksungleichung

Der Beweis der Dreiecksungleichung wird wie folgt durchgeführt:

Es gilt:

Wenn    und        (1)     und

wenn  und      (2) 

Für        und      gilt auch    .

Zusammenfassen von (1) und (2) ergibt:  

Umgekehrte Dreiecksungleichung

Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung

Es gilt:         (Dreiecksungleichung)

(1) Einsetzen von    :  

  =   

(2) Einsetzen von     :  

  =   

Aus (1) folgt:    

Aus (2) folgt:    

Zusammengefasst:  

Zahlenbeispiel: Dreiecksungleichung

Zunächst einmal werden die Orstvektoren , und eingeführt. Dabei zeigt der Vektor vom Ursprung auf den Punkt , der Vektor vom Ursprung auf den Punkt und der Vektor vom Ursprung auf den Punkt :

Die Ortsvektoren werden wie folgt berechnet:

.

Es können nun mittels Vektoraddition die Vektoren , und bestimmt werden:

Diese Vektoren stellen zunächst wieder Ortsvektoren dar, die vom Ursprung auf die Punkt (6,1), (-1,-3) und (5,-2) zeigen. Diese werden dann parallel zu sich selbst in die Punkte verschoben. Es ergibt sich das folgende Bild:

In der obigen Grafik sind die Ortsvektoren (gestrichelte Vektoren) eingezeichnet, welche auf die entsprechenden Punkte zeigen. Werden diese nun parallel zu sich selbst in die Punkte , , und verschoben, so sieht man deutlich, dass diese die Vektoren zwischen den Punkten darstellen. Es kann als nächstes die Länge der Vektoren bestimmt werden und dadurch die Dreiecksungleichung gezeigt werden:

Die Ungleichung ist erfüllt. Die zwei Dreiecksseiten sind länger als die direkte Verbindung.