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Für die nachfolgenden Aufgaben soll die Lage der Geraden zueinander (parallel, identisch, windschief, sich schneidend) bestimmt und der Abstand zwischen den Geraden berechnet werden (bei parallelen und windschiefen Geraden).
Die Geraden werden in der folgenden Parameterdarstellung angegeben:
Aufgabe 1: Lagebeziehung von Geraden
Beispiel
Gegeben seien die beiden Geraden
Zunächst wollen wir die Lagebeziehung beider Geraden zueinander bestimmen. Wir prüfen als erstes, ob parallele oder sogar identische Geraden gegeben sind. Ist dies der Fall, so existieren für identische Geraden unendliche viele Schnittpunkte (Geraden liegen aufeinander). Bei parallelen Geraden existiert hingegen kein Schnittpunkt.
Um das herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen
Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Jede Zeile nach
(1)
(2)
(3)
Nur wenn
Wir müssen als nächstes prüfen, ob die Geraden einen Schnittpunkt aufweisen oder keinen und damit windschief sind.
Zur Überprüfung müssen wir beiden Geraden gleichsetzen und das lineare Gleichungssystem lösen:
Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Die erste Zeile (1) ist bereits nach
(1)
Wir können diese also in die zweite Zeile (2) einsetzen, um
(2)
Einsetzen in die erste Zeile (1) zur Berechnung von
Damit die Geraden einen Schnittpunkt haben, muss die letzte Gleichung eine Lösung haben. Dazu setzen wir die Ergebnisse in die letzte Zeile (3) ein:
(3)
Diese Aussage ist falsch. Damit besitzen die beiden Geraden keinen Schnittpunkt. Die Geraden
Als nächsten wollen wir den Abstand der beiden windschiefen Geraden zueinander bestimmen. Dazu benötigen wir die folgenden Formel:
Hierbei ist
Methode
Der Normalenvektor
Danach normieren wir den Normalenvektor auf die Länge 1, indem wir diesen durch seine Länge teilen:
Dazu berechnen wir zunächst die Länge des Normalenvektors, durch die wir den Normalenvektor anschließend teilen:
Der Abstand der beiden windschiefen Geraden kann dann berechnet werden zu:
Die kleinste Strecke zwischen den beiden windschiefen Geraden beträgt 0,705 Maßeinheiten.
Aufgabe 2: Lagebeziehung von Geraden
Beispiel
Gegeben seien die beiden Geraden
Zunächst wollen wir die Lagebeziehung beider Geraden zueinander bestimmen. Wir prüfen als erstes, ob parallele oder sogar identische Geraden gegeben sind. Ist dies der Fall, so existieren für identische Geraden unendliche viele Schnittpunkte (Geraden liegen aufeinander). Bei parallelen Geraden existiert hingegen kein Schnittpunkt.
Um das herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen
Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Auflösen nach
(1)
(2)
(3)
Alle Werte für
Um zu überprüfen, ob parallele oder identische Geraden vorliegen, wählen wir den Aufpunkt einer der Geraden und setzen diesen mit der Geradengleichung der anderen Geraden gleich.
Wir wählen hier den Aufpunkt der Geraden
Wir stellen das lineare Gleichungssystem auf:
(1)
(2)
(3)
Wir lösen nach
(1)
(2)
(3)
Da
Als nächstes wollen wir den Abstand der beiden parallelen Geraden zueinander bestimmen. Der Abstand bei parallelen Gerade ist in jedem Punkt gleich. Wir können diesen berechnen zu:
Wir berechnen zunächst die Länge des Richtungsvektors der Geraden
Danach berechnen wir den Zähler (zunächst ohne Länge):
Wir berechnen die Länge des resultierenden Vektors im Zähler:
Als nächstes können wir den Abstand berechnen:
Der Abstand zwischen den beiden parallelen Geraden
Aufgabe 3: Lagebeziehungen zweier Geraden
Beispiel
Gegeben seien die beiden Geraden
Zu Beginn gilt es, die Lagebeziehungen der beiden Geraden zu ermitteln. Dabei wird geprüft, ob parallele oder gar identische Geraden gegeben sind. Sollte dies der Fall sein, liegen für identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte vor. Sind Sie jedoch parallel, haben Sie keine Schnittpunkte.
Um das herauszufinden, müssen wir prüfen, ob die beiden Geraden Vielfache voneinander sind. Dazu betrachten wir die Richtungsvektoren der beiden Geraden und berechnen
Wir können erkennen, dass sämtliche
Nun setzen wir einen Punkt der ersten Geraden mit der zweiten Geraden gleich. Üblicherweise wird als Punkt der Ortsvektor herangezogen. Wir wählen den Ortsvektor der Gerade
Ortsvektor von
Für jede Zeile ist nun das
Anhand der identischen Werte von
Aufgabe 4: Lagebeziehungen zweier Geraden
Beispiel
Gegeben sind in dieser Aufgabe die Geraden
Zu Beginn gilt es, die Lagebeziehungen der beiden Geraden zu ermitteln. Dabei wird geprüft, ob parallele oder gar identische Geraden gegeben sind. Sollte dies der Fall sein, liegen für identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte vor. Liegen sie jedoch parallel zueinander, haben sie keine Schnittpunkte.
Um dies herauszufinden, stellen wir zunächst ein lineares Gleichungssystem auf und bestimmen für jede Zeile das
Für die
Wir sehen, dass die Werte für alle
Für weitere Aussagen sind die beiden Geradengleichungen gleich zu setzen, sodass sich ein lineares Gleichungssystem ergibt:
(1)
(2)
(3)
Die beiden ersten Gleichungen können schnell nach
(1)
(2)
(3)
Durch Gleichsetzen der beiden ersten Gleichungen, erhalten wir den Wert
Einsetzen in die letzte Gleichung:
Dass die letzte Gleichung eine Lösung hat, ist Voraussetzung dafür, dass die Geraden einen Schnittpunkt besitzen. Dies können wir dadurch prüfen, indem wir die Ergebnisse für
(3)
Das Ergebnis zeigt, dass die Aussage wahr ist. Die Geraden besitzen somit einen Schnittpunkt.
Zur Ermittlung des Schnittpunktes setzen wir eine Lösung in eine der Geradengleichungen ein:
Mit
oder
Mit
Aufgabe 5: Lagebeziehungen zweier Geraden
Beispiel
Gegeben sind in dieser Aufgabe die Geraden
Zu Beginn gilt es, die Lagebeziehungen der beiden Geraden zu ermitteln. Dabei wird geprüft, ob parallele oder gar identische Geraden gegeben sind. Sollte dies der Fall sein, liegen für identische Geraden unendlich viele Schnittpunkte vor. Liegen sie jedoch parallel zueinander, besitzen sie keine Schnittpunkte.
Zur Prüfung, ob die Richtungsvektoren linear abhängig sind, stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf:
Wir sehen, dass die Werte der
Für weitere Aussagen setzen wir die Gleichungssysteme gleich und generieren ein lineares Gleichungssystem:
Ob die Geraden einen Schnittpunkt haben, finden wir dadurch heraus, dass die letzte Gleichung eine Lösung hat. Um dies zu überprüfen, setzen wir die Ergebnisse in die letzte (dritte) Gleichung ein:
Wir sehen, dass die Aussage falsch ist, woraus wir schließen können, dass beide Geraden keinen Schnittpunkt haben.
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