Logarithmische Normalverteilung, LNVT-Verteilung

Die logarithmische Normalverteilung (kurz LNVT) lässt sich aus der Gaußschen Fehlerfunktion (lineare Normalverteilung) ableiten durch Substitution, denn der Logarithmus der Partikelgröße (ln x) ist meist normal verteilt. 

Normalverteilung - Verteilungsdichte

Zuerst betrachten wir die Verteilungsdichte der Normalverteilung. Formal wird diese beschrieben mit

Kennwerte: = Standardabweichung der Größe x, = Median der r-Verteilung. 

Durch Logarithmieren und Integrieren ergibt sich schließlich die Verteilungssummenfunktion der LN-Verteilung:

Der Mittelwert legt die Lage der Verteilung fest und die Standardabweichung bestimmt die Breite der Verteilung. 

Logarithmische Normalverteilung - Verteilungsdichte

Die Verteilungsdichtefunktion der logarithmischen Normalverteilung ergibt sich aus

durch folgende Substitution:

.

Die Verteilungsdichtefunktion ist dann:

Das logarithmische Normalverteilungsnetz ist so geteilt, dass Wertepaare der zur obigen Gleichung gehörenden Verteilungssumme hier eine Gerade für alle Mengenarten ergeben.

Eine Logarithmische Normalverteilung liegt also vor, wenn gemessene Wertepaare einer Summenverteilung, nach Eintragen in das logarithmische Wahrscheinlichkeitsnetz eine Gerade bilden. Im Gegensatz zum linearen Normalverteilungsnetz weist das logarithmische Wahrscheinlichkeitsnetz eines Teilung der x-Achse auf. 

Medianwerte

Der vorgegebene Medianwert und die Standardabweichung erlauben es beliebige Medianwerte zu errechnen. Eine Ermittlung wird die folgt ermittelt:

Kennwerte: = Standardabweichung, als Maß für die Breite der Verteilung, ,