Für das grafische Verfahren wird das Ausgangsproblem herangezogen:
u.d.N.
(1)
(2)
(3)
Die Grafik für das Ausgangsproblem ergibt sich wie folgt:
In der obigen Grafik sind die Restriktionen (1) bis (3) eingezeichnet. Die Pfeile geben an, in welche Richtung die Restriktionen gelten. Die Restriktion (1) gilt nach oben (da
Es wird nun als nächstes das Teilproblem
Es ist nun zusätzlich die Restriktion
Es handelt sich hier um eine nichtganzzahlige Lösung und demnach keine zulässige Lösung. Auch das Problem muss weiter verzweigt werden. Das Teilproblem mit dem kleineren Zielfunktionswert wird dabei als erstes verzweigt. Es wird demnach das Problem
Für die Verzweigung
Das angepasste Problem
Die optimale Lösung des angepassten Teilproblems
Da es sich hierbei um eine ganzzahlige Lösung handelt ist diese zulässig für das Ausgangsproblem. Diese Lösung ist außerdem kleiner als die obere Schranke
Alle weiteren zulässigen ganzzahligen Lösungen die ermittelt werden müssen nun mit dieser oberen Schranke verglichen werden. Liegt ein zulässiger Zielfunktionswert über dieser Schranke, so tritt der Fall a ein und das Problem muss nicht weiter beachtet werden. Ziel ist die Suche nach einem kleineren Zeilfunktionswert als
Das Teilproblem
Es wird das Teilproblem
Es wird im weiteren der gesamte Baum angezeigt. Die optimalen Lösungen können dabei entweder durch den Simplexalgorithmus oder durch das grafische Verfahren unter Berücksichtigung der Nebenbedingungen der Teilprobleme bestimmt werden. Dabei dürfen die Nebenbedingungen der übergeordneten Teilprobleme nicht vergessen werden:
Es werden in dem obigen Baum nun die Fälle b betrachtet. Von diesem wird der kleinste Wert ausgewählt. Da nur ein Fall b existiert, ist die beste Lösung gegeben bei
Methode
Nach diesem Verfahren wird nur verzweigt, wenn eine nichtganzzahlige optimale Lösung resultiert. Ansonsten liegen die Fälle a, b oder c vor und das Teilproblem muss nicht weiter beachtet werden. Fall a liegt vor, wenn die zulässige ganzzahlige Lösung größer ausfällt als die obere Schranke. Fall b tritt ein, wenn die zulässige ganzzahlige Lösung kleiner ausfällt als die obere Schranke. Dieser Zielfunktionswert wird dann zur neuen oberen Schranke. Fall c tritt ein, wenn keine zulässige Lösung ermittelt werden kann.
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung)
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Branch-and-Bound am Minimierungsproblem (optimale Lösung) (Ganzzahlige Optimierung) aus unserem Online-Kurs Operations Research 2 interessant.
-
Branch-and-Bound: Knapsack-Problem
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Branch-and-Bound: Knapsack-Problem (Ganzzahlige Optimierung) aus unserem Online-Kurs Operations Research 2 interessant.