Inhaltsverzeichnis
- 1. Iteration
- 1. Auswahl eines bliebigen Knoten als Startlösung
- 2. Bestimmung der aktiven Indizes
- 3. Bestimmung des Gradienten
- 4. Lösung des linearen Ersatzproblems
- 5. Bestimmung der Schrittweite: Zulässiger Bereich
- 6. Bestimmung der Schrittweite: Zielfunktion
- 7. Wahl der Schrittweite
- 8. Berechnung der zulässigen Lösung
Es folgt ein Anwendungsbeispiel zur Methode der zulässigen Richtungen für nichtlineare Optimierungsprobleme unter Berücksichtigung von Nebenbedingungen.
Gegeben sei das folgende nichtlineare Minimerungsproblem:
u.d.N.
Zunächst wird das nichtlineare Minimierungsproblem in die im vorherigen Abschnitt angegebene Form umgeformt. Das bedeutet die Zielfunktion muss maximiert werden (Multiplikation mit
u.d.N.
(1)
(2)
(3)
(4)
1. Iteration
1. Auswahl eines bliebigen Knoten als Startlösung
Der Startknoten muss innerhalb des zulässigen Bereiches
Methode
Startwert:
Ob der Startwert im zulässigen Bereich liegt, kann überprüft werden, indem dieser in die Nebenbedingung eingesetzt wird. Werden die Werte der rechten Seite nicht überschritten (also keine Nebenbedingung verletzt), so liegt der Startwert im zulässigen Bereich.
2. Bestimmung der aktiven Indizes
Es wird nun in die Nebenbedingungen der Startwert eingesetzt und geprüft, ob beim Einsetzen des Startwertes die Ungleichung zu einer Gleichung führt. Dies ergibt sich für die Nebenbedingungen 2 und 4:
(2)
(4)
Methode
3. Bestimmung des Gradienten
Es wird der Gradient der Zielfunktion
Einsetzen von
4. Lösung des linearen Ersatzproblems
u.d.N.
Für die Lösung des Ersatzproblems wird der Gradient als Zielfunktion verwendet und die Menge der aktiven Indizies als Nebenbedingungen, wobei die rechte Seite zur
u.d.N.
Das Problem kann zum Beispiel mittels Simplexalgorithmus gelöst werden. Die Variable
Das zu lösende Problem ergibt sich dann wie folgt:
u.d.N.
Eintragen in das Tableau und lösen mittels primalen Simplex (da die rechte Seite nur positive Werte aufweist) ergibt dann:
mit
Methode
Die Lösung ist demnach
Diese Lösung ist in jedem Fall eine lokale beste Richtung, da sie im zulässigen Bereich des obigen Problems liegt. Setzt man nämlich
5. Bestimmung der Schrittweite: Zulässiger Bereich
Es wird als nächstes bestimmt, wie weit man gehen kann ohne den zulässigen Bereich
Methode
Es müssen nun also die Nebenbedingungen des Ausgangsproblems betrachtet werden, die nicht Element von
Da
Einsetzen von
Methode
6. Bestimmung der Schrittweite: Zielfunktion
Es wird als nächstes die Schrittweite
Es gilt
Es wird demnach ersetzt:
Die Funktion wird nach
Auflösen nach
Methode
7. Wahl der Schrittweite
Es wird nun diejenige Schrittweite gewählt, die minimal ist:
8. Berechnung der zulässigen Lösung
Die neue zulässige Lösung ist demnach:
Methode
Die 2. Iteration erfolgt im kommenden Abschnitt.
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