Inhaltsverzeichnis
Wir betrachten in diesem Abschnitt die Beschleunigungsarbeit.
Zur Bewegung eines Körpers muss eine Kraft aufgewendet werden. Diese Krafteinwirkung führt zu einer Beschleunigung und damit zu einer Bewegungsänderung. Der Zusammenhang zwischen Kraft und Beschleunigung ist durch das Aktionsgesetz gegeben:
Es muss also eine Kraft entgegen der Trägheit des Körpers aufgewendet werden, um eine Beschleunigung und damit eine Bewegungsänderung herbeizuführen.
Setzen wir dies nun in die Formel für die Arbeit ein, so erhalten wir:
Betrachten wir ein stehendes Auto. Wir schieben dieses Auto nun mittels Muskelkraft an. Das Auto beschleunigt und dies führt zu einer Bewegungsänderung. Die Kraft wirkt also entlang der gesamten Beschleunigungsstrecke.
Ist die Strecke
Wir erhalten nach zweimaliger Integration:
Wir beginnen mit der Zeitmessung bei
Methode
Einsetzen in die Gleichung für die Arbeit ergibt:
Zusammenfassen führt dann auf die Beschleunigunsarbeit in der folgenden Form:
Methode
(2)
mit
Ist die Geschwindgikeit gegeben, so kann die Beschleunigungsarbeit wie folgt ausgedrück werden:
mit
Auflösen nach
Einsetzen:
Kürzen:
Methode
(3)
mit
Diese letzte Formel zur Berechnung der Beschleunigungsarbeit zeigt auf der rechten Seite die kinetische Energie an, welche in einem späteren Abschnitt ausführlich beschrieben wird.
Merke
Es kann zur Berechnung der Beschleunigungsarbeit bei gegebener Beschleunigung und bei gegebener Wegstrecke die 1. Formel, bei gegebener Beschleunigung und Zeitdauer die 2. Formel und bei gegebener Geschwindigkeit die 3. Formel verwendet werden.
Anwendungsbeispiel: Saturn V-Mondrakete
Beispiel
Die Saturn V-Mondrakete gilt noch immer als eines der leistungsstärksten Trägersysteme, die je für die Raumfahrt entwickelt wurde. Sie war in der Lage eine Nutzlast von
Die Saturn V ist eine dreistufige Trägerrakete. Die max. Startmasse der 1. Stufe beträgt ca.
Die 1. Stufe besteht aus fünf F1 Triebwerken mit einem Schub von je
Welche Beschleunigungsarbeit in
Welche Beschleunigungsarbeit haben die Triebwerke der 1. Stufe nach
Im Vorfeld müssen wir einige Berechnungen durchführen, ohne die wir später nicht die Beschleunigungsarbeit zu den jeweiligen Phasen bestimmen können.
1. Bestimmen der Gewichtskraft bei dem Start und nach der Zeit
Die Gewichtskraft ist die Kraft, die entgegen der Beschleunigungsrichtung der Saturn V wirkt, d. h. die in Richtung der Erdoberfläche wirkt. Dazu müssen wir zum einen die Gesamtmasse der Saturn V vor dem Start ermitteln sowie die Gesamtmasse nach dem Ausbrennen der 1. Stufe nach
Gesamtmasse bei Start:
Hier muss die Masse der gesamten Rakete betrachtet werden. Die Masse der 1. - 3. Stufe.
Gesamtmasse nach
Von der Startmasse müssen wir an dieser Stelle die Masse des Treibstoffs der 1. Stufe vollständig abziehen, da dieser ja bis zum Zeitpunkt
2. Bestimmen der jeweiligen Gewichtskraft
Gewichtskraft beim Start:
Gewichtskraft nach
3. Bestimmung des Gesamtschubs der 1. Stufe
4. Bestimmung der Beschleunigung
Damit wir die Beschleunigung für die jeweilige Phase, in der sich die Saturn V befindet, bestimmen können, brauchen wir die Schubkraft, die von den Triebwerken in tatsächlichen Vortrieb umgewandelt wird. Wir müssen also von der Gesamtschubkraft die jeweilige Gewichtskraft subtrahieren. Wir betrachten das Newtonsche Grundgesetz:
Dabei ist
- für den Start:
Auflösen nach
- für den Zeitpunkt
Aufgrund des Treibstoffverbrauchs während der 1. Stufe, nimmt die Masse der Saturn V Rakete ab. Das führt zu einer Beschleunigung der Rakete, obwohl der Gesamtschub konstant bleibt, und zwar so lange, bis die 1. Stufe ausgebrannt ist. Wir müssen nun also die Gewichtskraft betrachten nachdem die 1. Stufe ausgebrannt ist (ohne den Treibstoff der 1. Stufe):
Auflösen nach
Berechnung der Beschleunigungsarbeit:
Damit haben wir nun alle Daten, die wir für die Berechnung der Beschleunigungsarbeit zu den jeweiligen Zeitpunkten benötigen. Für den 1. Schritt sind sowohl die Strecke
Für die Berechnung der Beschleunigungsarbeit zu dem Zeitpunkt, an dem die 1. Stufe ausgebrannt ist, also nach
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