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Anwendungsbeispiel: Waagerechter Wurf
Beispiel
Ein Ball wird mit der Anfangsgeschwindigkeit von
Bei einem waagerechten Wurf können wir uns ein kartesisches Koordinatensystem zur Hilfe nehmen. Wir zerlegen die Bewegung in eine
Betrachtung der x-Richtung
Die
Wir beginnen mit der Zeitmessung beim Abwurf, also bei
Methode
Die Geschwindigkeit in
Methode
Die Beschleunigung bestimmt sich durch Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
Methode
Betrachtung der y-Richtung
Wir betrachten als nächstes die
Auch hier gilt wieder
Die Anfangsgeschwindigkeit
Die Beschleunigung
Methode
Die Ableitung des Weges
Methode
Die Ableitung der Geschwindigkeit nach der Zeit
Methode
Nachdem wir nun die Bewegungsgesetze bestimmt haben, können wir damit beginnen die obige Aufgabe zu lösen.
a) Wie groß ist die Geschwindigkeit nach 1s?
Wir können nun also die gesamte Geschwindigkeit bestimmen, indem wir beide Geschwindigkeitskomponenten zusammenfassen. Mittels Satz des Pythagoras ergibt sich dann die Gesamtgeschwindigkeit:
Wir setzen nun
Nach 1s weist der Ball eine Gesamtgeschwindigkeit von
b) Wie groß ist die Tangential- und Normalbeschleunigung nach 1s?
Die Tangentialbeschleunigung ist die Ableitung der Geschwindigkeit
und leiten diese nach der Zeit
Hinweis
EXKURS: Kettenregel anwenden
Wir setzen
Die Ableitungen von
Es gilt die Formel für die Kettenregel:
Wir setzen also
Kürzen:
Dabei ist der Nenner genau wieder
Methode
mit
Wir können also zunächst die Tangentialbeschleunigung für
Als nächstes betrachten wir die Normalbeschleunigung. Diese kann bestimmt werden aus der folgenden Gleichung:
Die Gesamtbeschleunigung kann ebenfalls bestimmt werden aus:
Einsetzen in die obige Formel:
Wir können nun alle Werte einsetzen und erhalten:
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