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Warum zieht die Sonne die Erde nicht an, sondern kreist um die Sonne?
Dazu stelle man sich einen waagerecht geworfenen Ball vor. Die Bewegung des Balls kann in einen waagerechten Anteil und in einen senkrechten Anteil zerlegt werden. Wie weit der Ball in waagerechter Richtung fliegt, ist abhängig von der Geschwindigkeit, mit der der Ball geworfen wird.
Je größer die Geschwindigkeit, um so weiter der Weg in horizontaler Richtung. Auf den Ball wirkt dann die Gravitationskraft als die Kraft, die ihn entgegen seiner Trägheit von der gradlinigen Bahn in eine Kreisbahn zwingt. Aus der Sicht des Balls verbleibt er auf seiner Bahn nur deshalb, weil die Gravitationskraft durch eine entgegengesetzte aber gleich große Zentrifugalkraft kompensiert wird:
Methode
Zentrifugalkraft:
mit
Beispiel
Betrachten wir nun wieder den Ball (
Damit der Ball um die Erde kreist, müssen Zentrifugalkraft und Gravitationsgkraft gleich sein. Die beiden Gleichungen werden also gleich gesetzt:
Gravitationskraft:
oder kurz:
mit
Die Gravitationskraft beträgt demnach:
Methode
Zentrifugalkraft:
Dabei ist
Die Zentrifugalkraft ist demnach:
Methode
Gleichsetzen von Zentrifugalkraft und Gravitationskraft:
Auflösen nach der Geschwindigkeit
Der Ball müsste also eine Geschwindigkeit von 28.460,41 \frac{km}{h}
Methode
mit
Ist der Körper also auf der Erdoberfläche wird obige Formel zu
Eliptische Bahnen
Da die Erde kein genauer Kreis ist, sondern eher eine eliptische Form aufweist, begwegen sich die Satelliten nicht genau kreisförmig. Um diese eliptische Bahn zu erreichen sind die Satelliten auf eine etwas höhere Geschwindigkeit beschleunigt worden, als es für eine Kreisbahn notwendig wäre.
(1) Aufgrund der höheren Geschwindigkeit überwiegt die Zentrifugalkraft der Gravitationskraft und die Satelliten entfernen sich weiter von der Erde.
(2) Die Energie für die Höhenzunahmen (potentielle Energie) geht dabei auf Kosten der Bewegungsenergie (kinetische Energie). Der Satellit wird also langsamer und damit nimmt die Zentrifugalkraft ab. Das bedeutet wiederrum, dass nun die Gravitationskraft überwiegt und der Satellit an Höhe verliert (potentielle Energie nimmt ab).
(3) Da nun die Höhenenergie abnimmt, nimmt die Bewegungsenergie (kinetische Enegrie wieder zu). Der Satellit wird also wieder schneller. (Weiter bei 1)
Dieser ganze Ablauf wiederholt sich. Auf diese Weise kommt eine elliptische Umlaufbahn zustande.
Anwendungsbeispiel: Zentrifugalkraft
Beispiel
Gegeben sei ein Satellit, welcher in einer gleichförmigen Bewegung 120 km über der Erdoberfläche kreist. Für eine Erdumdrehung benötigt der Satellig 100 Minuten.
Bestimme die Zetrifugalkraft, die auf seinen Astronauten (
Wir betrachten zunächst den Abstand von dem Satelliten zur Erde. Hierbei wird der Erdkern (also der Erdmittelpunkt) als Bezugspunkt verwendet. Vom Erdmittelpunkt zur Erdoberfläche ist der Abstand
Umgerechnet in Meter ergibt sich:
Die Zeit für die Umdrehung dauert insgesamt:
Die Zentrifugalkraft berechnet sich durch:
Wir kennen die Geschnwindigkeit
Die Winkelgeschwindigkeit
Die Umlaufzeit
Auflösen nach
Wir können als nächstes die Geschwindigkeit
Wir setzen die Geschwindigkeit als nächstes in die Bestimmung der Zentrifugalkraft ein:
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