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In den vorherigen Abschnitten haben wir freie Schwingungen betrachtet, welche nach einmaligen Anstoßen bzw. Auslenken ungestört ausschwingen können. Bei der erzwungenen Schwingung wird der betrachtete Körper bzw. das gesamte System durch eine periodisch einwirkenden äußere Kraft
Die Erreger-Kraft wird bestimmt zu:
Methode
mit
Die Bewegungsgleichung einer erzwungenen Schwingung wird bestimmt zu:
Es ist deutlich zu erkennen, dass der schwingende Körper nun nicht mehr mit seiner Kreisfrequenz, sondern mit der Erregerfrequenz
Die Amplitude bei der erzwungenen Schwingung ist abhängig von der Erregerfreuqenz:
Methode
mit
Außerdem muss die folgende Phasenverschiebung berücksichtigt werden:
Methode
Im Folgenden sollen drei wichtige Grenzfälle der erzwungenen Schwingung aufgezeigt werden.
Quasistatischer Grenzfall
Der quasistatische Grenzfall liegt dann vor, wenn die Erregerfrequenz
Für diesen Fall vereinfacht sich die Amplitudenfunktion zu:
Methode
Die Amplitudenfunktion ist dann nicht mehr abhängig von der Erregerfrequenz
Der Nullphasenwinkel
Methode
Das bedeutet also, dass hier keine Phasenverschiebung auftritt und die Sinusfunktion im Ursprung beginnt:
Methode
Resonanzfall
Liegt der Resonanzfall vor, so entspricht die Erregerfrequenz
Für die Amplitudenfunktion gilt dann:
Methode
Liegt der Resonanzfall vor, so nimmt die Amplitude des Schwingers maximale Werte an. Ist der Dämfungskoeffizient
Hochfrequenter Grenzfall
Dieser Grenzfall liegt vor, wenn die Eigenfrequenz
Ist eine hohe Erregerfrequenz gegeben, so wird die Amplitude sehr klein. Dabei bewegen sich Schwinger und erregende Kraft gegenphasig.
Die Amplitudenfunktion ist annähernd null:
Methode
Der Nullphasenwinkel nimmt annähernd den Wert
Methode
WICHTIG:
Merke
Anwendungsbeispiel: Erzwungene Schwingung
Beispiel
Gegeben sei ein Schwinger mit der Masse
Bestimme den Nullphasenwinkel, sowie die Amplitude der Erregerschwingung!
Zur Bestimmung des Nullphasenwinkels wird die folgende Gleichung verwendet:
Einsetzen der Werte ergibt:
Die Bestimmung der Amplitude der Erregerfunktion ergibt sich durch die Gleichung:
Einsetzen der Werte:
Beispiel
Bei welcher Erregerkreisfrequenz
Die Resonanz tritt dann ein, wenn die Erregerkreisfrequenz den Wert der Resonanzfrequenz
Die Resonanz tritt also bei einer Erregerkreisfrequenz von
Die Resonanzamplitude beträgt dann:
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