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In den vorherigen Abschnitten haben wir immer den Beginn der Bewegung in der Ruhelage betrachtet. Beginnt die Bewegung bzw. die Zeitmessung nun aber nicht in der Ruhelage, so muss zusätzlich eine Phasenverschiebung der Sinusfunktion berücksichtigt werden. Grund dafür ist, dass sich zur Zeit
Beispiel
Als Beispiel nehmen wir eine Feder, welche wir mittels Kraft spannen. Wir lassen die Feder dann los und beginnen mit der Zeitmessung. Die Bewegung beginnt also nicht mehr in der Ruhelage, sondern in einem ausgelenkten Zustand der Feder.
Alternativ: Wir stoßen einen Fadenpendel aus der Ruhelage an. Die Zeitmessung beginnen wir aber kurze Zeit später, als das Fadenpendel sich in einem ausgelenkten Zustand befindet. Die Bewegung beginnt zwar in Ruhe, die Zeitmessung aber erst im ausgelenkten Zustand. Wir müssen auch hier die Phasenverschiebung berücksichtigen.
Sinus-Funktion mit Phasenverschiebung
Beginnt die Betrachtung der Bewegung nicht in der Ruhelage, so muss zusätzlich eine Phasenverschiebung um einen Winkel
In der obigen Grafik beginnt nun die Zeitmessung nicht in der Ruhelage. Wir müssen also die Sinusfunktion anpassen, indem wir den Winkel
Die Sinusfunktion wird durch diese Phasenverschiebung nach links verschoben. Die gestrichelte Sinusfunktion ist diejenige, wenn das Pendel in der Ruhelage angestoßen wird, die nicht gestrichelte Linie gilt für den Beginn der Zeitmessung, wenn sich das Pendel bereits in einer gespannten Ausgangslage befindet.
Die Bewegungsgleichungen ergeben sich dann wie folgt:
Methode
mit
Auch hier muss wieder die Eigenfrequenz
Cosinus-Funktion
Die Cosinus-Funktion kann anstelle der Sinusfunktion angewandt werden, wenn die Phasenverschiebung bei einem Winkel von
In der obigen Grafik ist eine Phasenverschiebung der Sinusfunktion um einen Winkel von 90° =
Es gilt:
Merke
Damit ergeben sich die Bewegungsgleichungen zu:
Methode
mit
Auch hier muss wieder die Eigenfrequenz
Schwingungsdauer und -frequenz
Die Schwingungsdauer
Methode
Wobei wieder die Eigenfrequenz
Eigenfrequenzen
Es sollen der Übersicht halber hier nochmals die Eigenfrequenzen des Federpendels, Fadenpendels und physikalischen Pendels aufgezeigt werden:
Methode
Federpendel:
Fadenpendel:
Physikalisches Pendel:
Anwendungsbeispiel: Federpendel
Beispiel
Gegeben sei eine Feder, an dessen Ende ein Körper der Masse
Der Beginn der Bewegung erfolgt bei der Auslenkung von 15cm. Hierzu wird eine Kraft
Bei dieser Gleichung ist
Mit
Auflösen nach
Wir können als nächstes die Schwingungsdauer
Die Schwingungsdauer beträgt:
In 0,3441 Sekunden führt das Pendel eine Schwingung aus.
Als nächstes soll die maximale Geschwindigkeit bestimmt werden. Diese ergibt sich durch (siehe Bewegungsgleichung: Federpendel)
Mit der Eigenfrequenz eines Federpendels
Die maximale Auslenkung ist bei
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