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In diesem Abschnitt betrachten wir das Fadenpendel. Ist die Auslenkung des Pendelkörpers nicht zu groß, so besitzen seine Schwingungen ebenfalls einen sinusförmigen Verlauf. Man spricht auch von einem mathematischen Pendel, wenn die Gewichtskraft des Fadens vernachlässigbar klein und die Größe des Pendelkörpers klein im Vergleich zur Fadenlänge ist.
Die rücktreibend wirkende Kraft eines Fadenpendels lässt sich bestimmen, indem man die Gewichtskraft
Die Kraft
Die rücktreibende Kraft wird berechnet zu:
Methode
Die Auslenkung des Fadenpendels nach links wird in positive
Merke
Wir gehen nun von einem sehr kleinen Winkel
Dann können wir mittels Trigonometrie am rechtwinkligen Dreieck den folgenden Zusammenhang abbilden:
Einsetzen in die obige Gleichung ergibt dann:
Methode
mit
Der Term
Methode
Nach dem Newtonschen Grundgesetz führt eine äußere Kraft zu einer Beschleunigung:
Wir setzen nun also die rücktreibende Kraft
Dabei ist
Einsetzen ergibt dann:
Teilen durch
Methode
Was besagt diese Gleichung?
Wir stellen die Gleichung um:
Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion
Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit von
Eine bekannte Funktion, die diese Bedingung erfüllt, ist die Cosinus-Funktion. Ein Ansatz für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung
Wir benötigen nun aber
Einsetzen:
Dabei ist
Methode
Die Eigenfrequenz gibt an, welche Winkelgeschwindigkeit
Es wird nun die 1. und 2. Ableitung gebildet:
(1)
(2)
Wir betrachten nun die 2. Ableitung. Die zweite Ableitung der Funktion
(2)
Dieses Ergebnis wird nun in die obige Differentialgleichung eingesetzt:
Wir können als nächstes
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn
Auflösen nach
Methode
Die Erdbeschleunigung
Schwingungsdauer
Setzen wir nun
ein, dann erhalten wir:
Aufgelöst nach der Schwingungsdauer
Methode
Die Schwingungsdauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.
Frequenz
Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer:
Auflösen nach
Methode
Die Schwingungsfrequenz
Wir sind hier davon ausgegangen, dass der Körper maximal ausgelenkt worden ist und dann losgelassen wird. Dann ist die Cosinus-Funktion zur Beschreibung der Bewegung besser geeignet (wie hier gezeigt). Die Sinus-Funktion hingegen eignet sich als Ansatz, wenn der Pendelkörper zu Beginn in der Ruhelage ist und in dieser Position von außen “angestoßen” wird. Für die obigen Gleichungen ändert sich aber nichts, weil beide auf dasselbe Ergebnis für Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Frequenz führen. Für die späteren Bewegungsgleichungen hingegen muss unterschieden werden zwischen Sinus und Cosinus.
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