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Ein Federpendel ist ein harmonischer Oszillator, der aus einer Schraubenfeder und einer daran befestigten Masse besteht, welche sich geradlinig längs der Richtung bewegen kann, in der die Feder sich verlängert oder verkürzt. In der nachfolgenden Skizze ist ein solches Federpendel aufgezeigt:
Zieht man einen Körper, in
Wird der obige harmonische Oszillator aus seiner Ruhelage ausgelenkt (z.B. Feder mit Massestück wird gespannt, siehe oben), dann ist die rücktreibende Kraft gleich der Spannkraft bzw. Federkraft
Methode
mit
Das Minuszeichen gibt an, dass die Spannkraft der Feder der Auslenkung
Nach dem Newtonschen Grundgesetz führt eine äußere Kraft zu einer Beschleunigung:
Wir setzen nun also die Spannkraft
Dabei ist
Einsetzen ergibt dann:
Diese Gleichung kann so umsortiert werden, dass beide von der Auslenkung
Teilen durch
Methode
Was besagt diese Gleichung?
Wir stellen die Gleichung um:
Das bedeutet also, dass die zweimalige Ableitung einer Funktion
Wir müssen also eine Funktion in Abhängigkeit von
Eine bekannte Funktion, die diese Bedingung erfüllt, ist die Cosinus-Funktion. Ein Ansatz für den zeitlichen Verlauf der Auslenkung
Wir benötigen nun aber
Einsetzen:
Dabei ist
Methode
Die Eigenfrequenz gibt an, welche Winkelgeschwindigkeit
Es wird nun die 1. und 2. Ableitung gebildet:
(1)
(2)
Wir betrachten nun die 2. Ableitung. Die zweite Ableitung der Funktion
(2)
Dieses Ergebnis wird nun in die obige Differentialgleichung eingesetzt:
Wir können als nächstes
Diese Gleichung ist erfüllt, wenn
Auflösen nach
Methode
mit
- Die Eigenfrequenz des Federpendels ist umso größer, je größer die Federkonstante
der Schraubenfeder ist. - Die Eigenfrequenz des Federpendels ist umso größer, je kleiner seine Masse
ist.
Schwingungsdauer
Setzen wir nun
ein, dann erhalten wir:
Aufgelöst nach der Schwingungsdauer
Methode
Die Schwingungsdauer gibt die benötigte Zeit für eine gesamte Schwingung an.
Frequenz
Die Frequenz ist der Kehrwert der Schwingungsdauer:
Auflösen nach
Methode
Die Schwingungsfrequenz
Wir sind hier davon ausgegangen, dass der Körper maximal ausgelenkt worden ist und dann losgelassen wird. Dann ist die Cosinus-Funktion zur Beschreibung der Bewegung besser geeignet (wie hier gezeigt). Die Sinus-Funktion hingegen eignet sich als Ansatz, wenn der Pendelkörper zu Beginn in der Ruhelage ist und in dieser Position von außen “angestoßen” wird. Für die obigen Gleichungen ändert sich aber nichts, weil beide auf dasselbe Ergebnis für Eigenfrequenz, Schwingungsdauer und Frequenz führen. Für die späteren Bewegungsgleichungen hingegen muss zwischen Sinus und Cosinus unterschieden werden.
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