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Wir wollen uns in diesem Abschnitt der potentiellen Energie und der kinetischen Energie bei harmonischen Oszillatoren zuwenden. Dazu betrachen wir das Fadenpendel.
Energie beim Fadenpendel
Wir betrachten ein Fadenpendel, das aus seiner Ruhelage
Dabei ist
Potentielle Energie
Das Fadenpendel wird also zunächst ausgelenkt, um es in die Position
Methode
Aufgrund der jetzigen Position
Methode
mit
Bei der potentiellen Energie wird nur der Höhenunterschied
Kinetische Energie
Wird das Fadenpendel nun losgelassen, so beginnt es sich in Richtung der Ruhelage
Methode
Ist das Fadenpendel wieder im Ausgangspunkt
Es gilt:
Methode
Aufgrund seiner Trägheit bewegt sich das Fadenpendel über die Ruhelage
Wird hierbei die Reibung vernachlässigt, so erreicht er die gleiche Höhe wie bei der Auslenkung im Punkt
Eine harmonische Schwingung ist gegeben, wenn Reibung vernachlässigt wird und das Pendel unendlich lange weiterschwingt. Dabei ist die Amplitude (maximaler Abstand von der Ruhelage, also Punkte
Sobald hingegen Reibung auftritt (z.B. Luftwiderstand) kommt das Pendel irgendwann zur Ruhe und es handelt sich nicht um eine harmonische Schwingung. Betrachtet man hingegen nur eine Schwingungsperiode (eine Pendelbewegung), so kann man auch mit Reibung von einer harmonischen Schwingung ausgehen.
Gesamtenergie
Die Gesamtenergie ergibt sich durch die Summe der potentiellen und kinetischen Energie:
Methode
mit
Ist die Winkelgeschwindigkeit unbekannt, so gilt:
Methode
Anwendungsbeispiel: Geschwindigkeit berechnen
Beispiel
Gegeben sei ein mathematisches Pendel (z.B. Fadenpendel) mit der Fadenlänge
Das Fadenpendel wird also zunächst mit
Wird das Pendel nun losgelassen, so wandelt sich die potentielle Energie in kinetische Energie um. Die kinetische Energie erreicht dann in der Ruhelage bei
Die kinetische Energie in der Ruhelage ist gleich der potentiellen Energie am Umkehrpunkt:
Wir können diese Gleichung nun nach
Einsetzen der Werte ergibt:
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