Inhaltsverzeichnis
- Wärmezufuhr
- Wärmeabfuhr
- Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase
- Die spezifische Gaskonstante
- Thermische Zustandsgleichung
- Anwendungsbeispiel 1: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
- Anwendungsbeispiel 2: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
- Anwendungsbeispiel 3: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Nachdem wir die drei thermischen Zustandsgrößen betrachtet haben, wollen wir nun den Zusammenhang dieser drei Größen darstellen.
Wärmezufuhr
Die Wärmezufuhr führt dazu, dass
- die Temperatur ansteigt
- das Volumen zunimmt
- die Dichte sinkt
- der Druck steigt.
Wärmeabfuhr
Die Wärmeabfuhr führt dazu, dass
- die Temperatur sinkt,
- das Volumen abnimmt
- die Dichte steigt,
- der Druck sinkt.
Wir können nun also zwischen den drei thermischen Zustandsgrößen zunächst allgemein den folgenden Zusammenhang formulieren:
Diese Gleichung sagt aus, dass es einen Zusammenhang zwischen diesen drei Zustandsgrößen gibt. Für einen bestimmten Zustand ist es aufgrund dieses Zusammenhangs möglich aus zwei gegebenen Größen die dritte Größe zu berechnen. Folgende Auflösungen sind möglich:
Merke
Diese Zustandsgleichungen werden experimentell bestimmt und für jeden Stoff existiert eine eigene thermische Zustandsgleichung.
Thermische Zustandsgleichung für ideale Gase
Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase hat eine einfache Form und ist deswegen für die Veranschaulichung der Zusammenhänge zwischen Druck, Volumen und Temperatur geeignet. Unter Normaldruck und weit oberhalb des Siedepunkts verhalten sich alle Gase näherungsweise wie ein ideales Gas, d.h. das Volumen der einzelnen Gasteilchen kann (im Vergleich zum Gesamtvolumen) ebenso vernachlässigt werden wie die Wechselwirkung der einzelnen Teilchen untereinander.
Die spezifische Gaskonstante
Es gilt für ein ideales Gas der Zusammenhang zwischen
Methode
mit
Für die eigenständige Berechnung benötigt man die universelle Gaskonstante
Merke
welche man durch die Molmasse des betrachteten Gases dividiert:
Methode
Die universelle Gaskonstante
Merke
Alle idealen Gase enthalten bei gleicher Temperatur und gleichem Druck in gleichen Volumina die gleiche Teilchenzahl (Satz von Avogadro).
Thermische Zustandsgleichung
Nach Umformung der obigen Gleichung erhält man dann die thermische Zustandsgleichung des idealen Gases durch:
Methode
mit
Man kann die Zustandsgleichung auch mittels Volumen
Methode
mit
Oder man drückt die thermische Zustandsgleichung durch die universelle Gaskonstante
Methode
mit
-mit dem molaren Volumen (obige Gleichung durch
mit
Die thermische Zustandsgleichung für ideale Gase stellt den Grenzfall aller thermischen Zustandsgleichungen dar. Sie gilt für eine geringe Dichte
Anwendungsbeispiel 1: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Beispiel
In einem Behälter mit dem Volumen von
Die thermische Zustandsgleichung ist:
Gegeben ist:
Methode
Die spezifische (spezielle) Gaskonstante
Die spezifische Gaskonstante ergibt sich dann mit:
Gesucht:
Einsetzen der Werte und auflösen nach
Berechnung der Einheit:
Der Sauerstoff in dem Behälter hat eine Masse von
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Anwendungsbeispiel 2: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Beispiel
Gegeben sei das obige U-Rohr-Manometer. Das U-Rohr ist oben links gechlossen und mit Stickstoff gefüllt. Danach folgt das Quecksilber mit einem ersichtlichen Höhenunterschied und der Behälter, welcher mit einem beliebigen Gas gefüllt ist. Der Stickstoff soll näherungsweise als ideales Gas gelten. Wie groß ist der absolute Druck in dem Behälter?
Bei einem U-Rohr-Manometer berechnet man den absoluten Druck innerhalb des Behälters mit:
Der Bezugsdruck
Der Bezugsdruck (also der Druck des Stickstoffs) kann mittels der thermischen Zustandsgleichung bestimmt werden, weil angenommen wird, dass der Stickstoff näherungsweise als ideales Gas gilt:
Gegeben:
Das Volumen von dem Stickstoff kann berechnet werden durch die Höhe der Säule, in welcher sich der Stickstoff befindet, multipliziert mit der Fläche. Da es sich um einen Durchmesser der Säule von
Es handelt sich um einen Säule, welche einen kreisförmigen Querschnitt besitzt.
Das Volumen berechnet sich nun mit der Höhe der Säule in welcher der Stickstoff enthalten ist:
Die Masse ist gegeben mit
Die spezifische Gaskonstante kann aus Tabellen abgelesen werden und beträgt für Stickstoff:
Die Temperatur ist gegeben mit
Merke
WICHTIG: Die Einheiten müssen immer korrekt umgerechnet werden damit das richtige Ergebnis resultiert!!!
Es kann nun die thermische Zustandsgleichung nach
Methode
Es wurde nun der Bezugsdruck bestimmt. Aus der Grafik kann man anhand des Höhenunterschieds des Quecksilbers erkennen, dass der Bezugsdruck größer ist als der Druck in dem Behälter. Der absolute Druck in dem Behälter lässt sich nun mit der Gleichung für das U-Rohr-Manometer bestimmen:
Das Minuszeichen deswegen, weil der Bezugsdruck größer ist als der Druck im Behälter. Die Druckdifferenz
Methode
Anwendungsbeispiel 3: Thermische Zustandsgleichung des idealen Gases
Gegeben sei wieder das in Anwendungsbeispiel 2 gegebene U-Rohr-Manometer, mit der mit Stickstoff gefüllten geschlossenen Säule. Die Angaben sind der Grafik zu entnehmen.
Beispiel
Es wird der Säule nun Wärme zugeführt, was dazu führt, dass sich der Stickstoff in der linken Säule um 20mm ausbreitet. Die Druckänderung im Behälter sowie die Dichte- und Längenänderung des Quecksilbers können dabei vernachlässigt werden.
Wie groß ist die Temperaturdifferenz des Stickstoffes?
Da die Druckänderung des Gases im Behälter vernachlässigt werden kann, kann man mittels der Gleichung für das U-Rohr den Bezugsdruck, also den Druck des Stickstoffes bestimmen:
Das Minuszeichen wird wieder verwendet, weil der Druck des Stickstoffes größer ist als der des Gases im Behälter. Das sieht man wieder an der Höhendifferenz (siehe Kapitel Druck).
Der absolute Druck im Behälter lag im Anwendungsbeispiel 2 bei
Der Stickstoff breitet sich in der linken Säule um 20mm aus, d.h. der Spiegel des Quecksilbers sinkt um 20mm an der linken Säule. Das führt dazu, dass der Spiegel des Quecksilbers an der rechten Säule um genau diese 20mm erhöht wird. Die vorherige Höhendifferenz erhöht sich somit um
Methode
Nachdem nun der Bezugsdruck bestimmt wurde, kann die Temperaturdifferenz mittels der thermischen Zustandsgleichung bestimmt werden:
(1)
(2)
Es müssen diese beiden thermischen Zustandsgleichungen betrachtet werden und alle Größen, welche varriert werden (Temperatur, Volumen und Druck) mit Indizes versehen werden. Die Masse des Stickstoffes und die spezifische Gaskonstante bleiben gleich. Diese Gleichungen werden nun voneinander subtrahiert:
(1) - (2):
In der Aufgabenstellung ist nach der Temperaturdifferenz die Frage, weshalb:
Der Druck
Das neue Volumen berechnet sich durch die Ausdehnung um 20mm zu der bereits vorhandenen Höhe, welches der Stickstoff einnimmt:
Die Werte für
Methode
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