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Regelungstechnik - Ähnlichkeitssatz

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Regelungstechnik

Ähnlichkeitssatz

Mit dem Ähnlichkeitssatz kann die unbekannte LAPLACE-Transformierte einer Zeitfunktion unter Kenntnis der LAPLACE-Tranformierten einer anderen Zeitfunktion berechnet werden. 

Merke

Hier klicken zum AusklappenMit dem Ähnlichkeitssatz lassen sich die Bildvariablen berechnen, wenn die Variable mit einer Konstanten multipliziert wird. Die Bedingung hierfür ist, dass die Konstante und reell ist.

Ähnlichkeitssatz - Formal

 Die Gleichung für die LAPLACE-Transformierte ist wie folgt:

Methode

Hier klicken zum AusklappenÄhnlichkeitssatz:  sowie

Beispiel: 

Beispiel

Hier klicken zum AusklappenErneut liegt eine Sinusfunktion vor. Wir möchten nun die LAPLACE-Transformierte von bestimmen. 
Ähnlichkeitssatz

Die Gleichung für die Sinusfunktion ist:

Für die LAPLACE-Transformation gilt dann:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Aus diesen  beiden Gleichungen lässt sich dann die LAPLACE-Transformierte der Zeitfunktion , also

Methode

Hier klicken zum Ausklappen mit

unter Verwendung des Ähnlichkeitssatzes berechnen:

Methode

Hier klicken zum Ausklappen

Im zweiten Schritt ist es dann auch kein Problem mehr die zweite Zeitfunktion grafisch darzustellen:

Ähnlichkeitssatz

Merke

Hier klicken zum AusklappenKurz gesagt: Liegen zwei bekannte Zeitfunktionen vor, von denen zudem für die eine die LAPLACE-Transformierte bekannt ist, sowie eine Verhältnisangabe (hier  ) , so kann mit dem Ähnlichkeitssatz die unbekannte LAPLACE-Transformierte der anderen Zeitfunktion berechnet werden. 
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