Besonderheiten

In Ergänzung zum vorherigen Kurstext gehen wir nochmals kurz auf die Besonderheiten im Zusammenhang mit homogenen Differenzialgleichungen ein.

In physikalischen Systemen sind die Koeffizienten der charakteristischen Gleichung reell.

Wenn komplexe Nullstellen der charakteristischen Gleichung auftreten, so müssen die Nullstellen bei paarweiser Konjugation komplex sein:

Dies gewährleistet, dass bei Nullstellen, die diese Eigenschaft besitzen, sich die Imaginärkomponenten beim Multiplizieren der Linearform aufheben. 

2. charakteristische Gleichung mit verschiedenen komplexen Nullstellen

Liegt eine charakteristische Gleichung mit verschiedenen komplexen Nullstellen vor, welche konjugiert komplexe Nullstellenpaare [] bilden, so ist die Lösung der homogenen Differenzialgleichung:

3. Charakteristische Gleichung mit konjugiert komplexen Nullstellen und

Bei einer charakteristischen Gleichung mit konjugiert komplexen Nullstellen und lautet die homogene Differenzialgleichung wie folgt:

Noch sind wir aber nicht fertig mit der Umformung der homogenen Differenzialgleichung. Unter Verwendung des Eulerschen Satzes:

erhalten wir für unsere homogene Differenzialgleichung :

Mit dieser Gleichung  wissen wir nun, dass eine physikalische Größe ist und somit eine reelle Funktion. Weiter wissen wir jetzt, dass die Koeffizienten der Sinuns- und Kosinusfunktion auch reell sind. Vorausgesetzt, und sind konjugiert komplex. Die entsprechenden Gleichungen hierfür sind:

Entsprechend unserer bisherigen Erkenntnisse sind auch die Konstanten und reell. Diese werden formal beschrieben durch:

Trigonometrische Form und Sinusform der Lösung der homogenen Differenzialgleichung

Hieraus können wir dann noch die Lösung der homogenen Differenzialgleichung in trigonometrischer Form und anschließend in Sinusform bilden:

Konstanten:  und