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Die Wirbelstärke misst die Stärke des Wirbels im Geschwindigkeitsfeld (ebene Strömungen). Die nachfolgende Abbildung zeigt, wie so ein Wirbel aussehen kann:
In der obigen Grafik ist ein Rad zu sehen, welches sich innerhalb einer strömenden Flüssigkeit befindet. Im ersten Fall nimmt die Geschwindigkeitskomponente
Im zweiten Fall nimmt die Geschwindigkeitskomponente
Der dritte Fall fasst die beiden genannten Fälle zusammen. Diese Zusammenfassung ergibt die Wirbelstärke:
Methode
Es ist natürlich auch möglich, dass beim ersten Fall die Geschwindigkeitskomponente
Da die Vorzeichen aber innerhalb der Gleichung berücksichtigt werden, ist die Konstellation unerheblich.
Wirbelfrei / Rotationsfrei
Wie bereits im Abschnitt Potentialströmungen angesprochen, sind diese wirbelfrei bzw. rotationsfrei. Es ist häufig der Fall, dass der Nachweis der Wirbelfreiheit für eine Potentialfunktion oder auch Stromfunktion erbracht werden soll. Hierfür gilt:
Methode
Herleitung der Wirbelstärke
Aus dem
Merke
Hier wurde das Kreuzprodukt X zwischen dem
Für ein zweidimensionales Problem in der
Methode
Ein Vektorfeld (Geschwindigkeitsfeld), dessen Rotation in einem Gebiet überall gleich null ist, nennt man wirbelfrei bzw. rotationsfrei. Ist das Gebiet einfach zusammenhängend, so ist das Vektorfeld genau dann der Gradient der Potentialfunktion, wenn die Rotation des Vektorfeldes im betrachteten Gebiet gleich null ist.
Der Gradient bestimmt sich zu:
Für ein zweidimensionales Problem in der
Merke
Ist also die Rotation des betrachteten Geschwindigkeitsfeldes gleich null
Beispiel: Rotationsfreiheit, Gradient
Beispiel
Gegeben sei die Potentialfunktion
Zunächst erfolgt der Nachweis der Potentialfunktion über die Rotationsfreiheit. Es gilt für ein zweidimensionales Problem:
Zunächst müssen die Geschwindigkeitskomponenten bestimmt werden. Aus der Potentialfunktion berechnen sich die Geschwindigkeitskomponenten wie folgt:
Das Geschwindigkeitsfeld ist also wie folgt
Es kann nun die obige Formel angewandt werden (Ableitung von
Es liegt also eine Rotationsfreiheit vor und damit ist die Potentialfunktion nachgewiesen worden.
Es wird nun der Gradient der Funktion gebildet:
Es wird also einmal die Potentialfunktion nach
Das Geschwindigkeitsfeld (mit den beiden Komponenten
Der Gradient der Potentialfunktion ist also genau das Geschwindigkeitsfeld.
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