Potentialfunktion

Handelt es sich um drehungsfreie bzw. wirbelfreie Strömungen, so liegen Potentialströmungen vor. Für die Potentialströmungen kann analog zur Stromfunktion auch eine Potentialfunktion eingeführt werden. Im Weiteren folgt die Betrachtung von ebenen (also zweidimensionalen) Potentialströmungen mit der Potentialfunktion .

Zur Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten aus der Potentialfunktion gilt:

Die Kontinuitätsgleichung kann dann wie folgt formuliert werden:

Vergleicht man nun die Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten aus der Potentialfunktion mit der Bestimmung der Geschwindigkeitskomponenten aus der Stromfunktion, so sieht man deutlich, dass:

,

.

Hierbei handelt es sich um die Cauchy-Riemannschen-Differentialgleichungen.

Aus diesem Zusammenhang lässt sich schließen, dass die Stromlinien und Potentiallinien (Linien konstanter Potentialfunktion) senkrecht (also im 90°-Winkel) aufeinander stehen. Es handelt sich hierbei um ein orthogonales Gitternetz.

Potentiallinien / Orthogonales Gitternetz

Die Potentiallinien stehen senkrecht auf den Stromlinien. Linien mit konstanter Stromfunktion werden Stromlinien genannt (siehe Abschnitte: Stromlinien und Stromfunktion). Linien mit konstanter Potentialfunktion werden als Potentiallinien bezeichnet.

Das orthogonale (auch: rechtwinklige) Gitternetz ergibt sich also durch Einzeichnung der Strom- und Potentiallinien.

Beispiel: Potentialfunktion und Stromfunktion

(a) Potentialfunktion

Die dazugehörige Potentialfunktion kann bestimmt werden, indem zunächst die Geschwindigkeitskomponenten aus der Stromfunktion bestimmt werden:

 ,

   (Minuszeichen nicht vergessen)

Für die Potentialfunktion gilt:

Auflösen nach ergibt:

Bei der Integration nach (durch gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante nicht von abhängig.

Bei der Integration nach (durch gekennzeichnet) ist die Integrationskonstante nicht von abhängig.

Die Integrationskonstanten spielen hier physikalisch keine Rolle, weshalb diese gleich null gesetzt werden können. 

Die dazugehörige Potentialfunktion lautet demnach:

.

(b) Grafik: Stromlinien und Potentiallinien

Setzt man nun , so kann man die Potentiallinien ermitteln. Diese stellen in diesem Beispiel Hyperbeln dar. Die Stromlinien für stehen senkrecht auf diesen Potentiallinien. In der nachfolgenden Grafik sind für unterschiedliche Konstanten der Potentialfunktionen die Potentiallinien eingezeichnet:

In der obigen Grafik ist ganz deutlich zu erkennen, dass in den vier Quadranten des -Koordinatensystems die Potentiallinien Hyperbeln darstellen. Dabei befinden sich die Potentiallinien mit positiven Konstanten der Potentialfunktion in dem Quadranten 1 und 3, die Potentiallinien mit negativen Konstanten der Potentialfunktion in den Quadranten 2 und 4.

In der nächsten Grafik sind die Stromlinien für unterschiedliche konstante Werte der Stromfunktion eingezeichnet:

Die Zusammenfassung der Potentiallinien und Stromlinien in einem Koordinatensystem ergibt dann das orthogonale Gitternetz. Die Potentiallinien stehen also senkrecht auf den Stromlinien (und umgekehrt):