Gradient einfach berechnen

Der Gradient ist ein Vektor der Funktion , welcher senkrecht auf der Niveaulinie steht, und in Richtung der maximalen Steigung im zuvor gewählten Punkt zeigt. Analog dazu zeigt ein Gradient in die Richtung der minimalen Steigung.

Einfach ausgedrückt lässt sich sagen, dass ein Gradient alle partiellen Ableitungen auflistet, also

. 

Zuerst bildet man die partiellen Ableitungen nach x und y:

Anschließend erzeugt man daraus die gesuchten Gradienten an den ausgewählten Stellen

Grafische Darstellung und Erläuterung

Der Gradient im Punkt ist und im Punkt ist . Wie bereits in den Abschnitten über Tangenvektoren und Normalenvektoren, beginnt der Gradient im Ursprung und zeigt auf den Punkt bzw. . Die Gradienten haben die Länge:

Die Gradienten müssen parallel zu sich selbst in die jeweiligen Punkte verschoben werden. Der Gradient im Punkt zeigt dann auf , der Gradient im Punkt   zeigt auf . Die Gradientenvektoren zeigen in Richtung des steilsten Anstiegs in diesem Punkt. Man kann sich nun also vorstellen, dass dort wo der Gradient hinzeigt, die Funktion sehr steil ansteigt. In der nachfolgenden Grafik wurde dies versucht anhand der Niveaulinien (in grün) darzustellen. Diese werden mit zunehmender Höhe der Funktion immer heller.

In der Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Gradienten senkrecht (im 90° - Winkel) auf den Niveaulinien bzw. Höhenlinien liegen.

Bewegung auf dem Gradientenvektor

Um die Punkte auf dem Gradientenvektor entlangzuwandern benötigt man die Einheitslänge. Diese wird berechnet:

Einen "Schritt" auf dem Gradienten ausgehend vom Punkt führt uns dann zum nächsten Punkt .

etc.