Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Druckkräfte auf gekrümmten Flächen bestimmt. Bei gekrümmten Flächen gilt:
- Die vertikal projizierte Fläche ist bei gekrümmten Flächen eine rechteckige Fläche,
- handelt es sich um einen kreisförmigen Querschnitt, dann geht die resultierende Druckkraft durch den Mittelpunkt des Kreises,
- die Wirkungslinie der Horizontalkraft geht durch den Schwerpunkt der Dreieckslast (wie bei rechteckigen Flächen),
- die Wirkungslinie der Vertikalkraft geht durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Fläche.
- Die Wirkungslinien verlaufen - wie bei rechteckigen Flächen - alle durch den Druckmittelpunkt. Die Koordinaten des Druckmittelpunktes können aus den Wirkungslinien der Horizontalkraft (im Schwerpunkt der Dreieckslast) und der Vertikalkraft (im Schwerpunkt der Wasserlast oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Fläche) bestimmt werden.
Es wird im Weiteren gezeigt, wie man die resultierende Druckkraft, die Vertikalkraft und die Horizontalkraft sowie ihre Wirkungslinien für gekrümmte Flächen bestimmt. Es wird auch gezeigt, dass für gekrümmte Flächen eine Druckmittelpunktbestimmung nicht notwendig ist.
Beispiel: Gekrümmte Flächen (halbkreisförmiger Zylinder)
Beispiel
Gegeben sei obiges Becken, welches mit Wasser gefüllt ist. Es sollen die Druckkräfte auf die halbkreisförmige zylindrische Wand berechnet werden. Der Radius beträgt
Bestimmung der Horizontalkraft
Die senkrechte Wasserhöhe beträgt zwei mal den Radius, also
Es wird nun zunächst die gekrümmte Fläche wieder vertikal projiziert. In diesem Beispiel ist der Radius gegeben, somit ist die gesamte Höhe der projizierten Fläche gleich
Die projizierte Fläche für die Horizontalkraft (in
Merke
Da in der Aufgabenstellung die Breite nicht angegeben ist, wird mit
Der Schwerpunkt wird nun anhand der projizierten Fläche bestimmt. Da es sich hierbei um eine rechteckige Fläche handelt, befindet sich der Schwerpunkt in der Mitte. Der senkrechte Abstand
Die Horizontalkraft beträgt:
Methode
Als nächstes muss die Wirkungslinie der Horizontalkraft bestimmt werden. Bei gekrümmten Flächen kann man die Wirkungslinie berechnen wie bei rechteckigen Flächen. Die Wirkungslinie der Horizontalkraft liegt bei rechteckigen Flächen im Schwerpunkt der Dreieckslast, also bei
Merke
Bei gekrümmten Flächen liegt der Angriffspunkt der Horizontalkraft im Schwerpunkt der Dreieckslast.
Bestimmung der Vertikalkraft
Die Vertikalkraft kann hier bestimmt werden, indem das Wasservolumen oberhalb bzw. unterhalb der Wand berechnet wird. Es muss hier keine Fläche projiziert werden, da das Wasservolumen ganz einfach mittels der Berechnung des Volumens eines Halbkreises bestimmt werden kann. Die Vertikalkraft berechnet sich allgemein:
Dabei ist
Die Fläche eines Halbkreises berechnet sich durch:
Das Ganze mit der Breite von 1 m multipliziert ergibt das Volumen:
Die Vertikalkraft beträgt:
Methode
Es fehlt noch die Wirkungslinie der Vertikalkraft. Die Vertikalkraft verläuft durch den Schwerpunkt des Wasservolumens oberhalb bzw. unterhalb der gekrümmten Wand. Ein Halbkreis hat seinen Schwerpunkt bei
Der Schwerpunkt liegt also (wenn man das Koordinatensystem in den Mittelpunkt legt) bei:
Da auch die Vertikalkraft bei gekrümmten Flächen durch den Druckmittelpunkt verläuft, hat man hier die Koordinate für diesen in
Bestimmung der Resultierenden
Der Betrag der Resultierenden berechnet sich zu:
Methode
Die Wirkungslinie der Resultierenden berechnet sich durch:
Methode
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Vertikalkraft
Beispiel: Gekrümmte Flächen (Viertelellipsenform)
Beispiel
Die obige Grafik zeigt ein mit Wasser gefülltes Becken der Höhe
Bestimmung der Horizontalkraft
Die Horizontalkraft wird bestimmt durch:
Die projizierte Fläche ist analog zu der bei dem obigen Halbkreis mit den Abmessungen in
Da es sich hierbei um eine rechteckige projizierte Fläche handelt, liegt der Schwerpunkt dieser in der Mitte bei einer Höhe zur Flüssigkeitsoberfläche von
Die Horizontalkraft beträgt demnach:
Methode
Die Wirkungslinie der Horizontalkraft liegt bei gekrümmten Flächen (wie bei rechteckigen Flächen) im Schwerpunkt der Dreieckslast. Der Schwerpunkt der Dreiecksfläche liegt bei
Bestimmung der Vertikalkraft
Die Vertikalkraft bestimmt sich durch die Gewichtskraft des Wasservolumens oberhalb der gekrümmten Wand:
Die Fläche einer Ellipse berechnet sich durch
Da es sich hier um eine Viertelellipse handelt, muss das Ganze noch durch vier dividiert werden. Das Volumen bestimmt sich dann durch Multiplikation mit der Breite
Die Vertikalkraft beträgt:
Methode
Die Wirkungslinie der Vertikalkraft liegt im Schwerpunkt dieses Wasservolumens. Es wird hier der Abstand von der gestrichelten Linie zum Schwerpunkt in
Bestimmung der Resultierenden
Zuletzt muss noch die Resultierende bestimmt werden. Diese ergibt sich aus
Methode
Die Wirkungslinie der Resultierenden berechnet sich durch:
Methode
In der obigen Grafik ist deutlich zu erkennen, dass die Vertikalkraft
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