Drallsatz (Impulsmomentensatz)

Das Impulsmoment, oder auch Drall, ist das Produkt aus Impuls und Hebelarm. Der Impulsmomentensatz oder Drallsatz lautet:

Es werden im Weiteren wieder die Stützkräfte (Impulsstrom plus Druckenergie) herangezogen. Das heisst, dass die einzelnen Momente (Kraft mal Hebelarm) zusammen null ergeben müssen:

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Alle äußeren Kräfte mal Hebelarm (hier: ) müssen alle zusammen gleich null ergeben.

Der Drallsatz oder auch Impulsmomentensatz erweitert also die zwei Gleichgewichtsbedingungen (horizontal, vertikal) um eine dritte Gleichgewichtsbedingung. Auch diese sollte aus der Statik bekannt sein, nämlich das Momentengleichgewicht. Dieses ist notwendig, wenn die horizontale und vertikale Gleichgewichtsbedingung nicht ausreichen, um die Auflagerkräfte zu berechnen. Das Vorgehen ist wie im Abschnitt: Vertikale und horizontale Gleichgewichtsbedingung, nur dass jetzt noch eine dritte Gleichgewichtsbedingung hinzukommt.

Die Berechnung von Momenten erfolgt, indem man zunächst einen Bezugspunkt festlegt. Hier wählt man zunächst den Punkt, in welchen die meisten Kräfte angreifen, denn diese Kräfte gehen dann nicht in die Berechnung der Momentengleichgewichtsbedingung ein. Es muss also immer ein Hebelarm (senkrechter Abstand der Kraft zum Bezugspunkt) vorhanden sein, damit dieser innerhalb der Momentengleichgewichtsbedingung berücksichtigt wird. Außerdem muss noch die Drehrichtung beachtet werden. Dreht die Kraft das Rohr um den Bezugspunkt im Uhrzeigersinn, so wird ein Minuszeichen verwendet. Im Folgenden wird die Berechnung mittels Momentengleichgewichtsbedingung anhand eines Beispiels aufgezeigt.

Beispiel: Impulsmomentensatz

Gegeben sei das folgende Rohr (in --Ebene) mit den folgenden Auflagerkräften:

1. Bestimmung der Stützkräfte

In diesem Fall sind alle Werte gegeben, um die Stützkräfte sofort zu bestimmen. Es muss also keine Bernoulli-Gleichung aufgestellt werden.

Die Stützkräfte ergeben sich gemäß (siehe Formel Grafik):

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Es sollen die beiden Auflagerkräfte berechnet werden.

2. Zerlegung der Kräfte mittels Trigonometrie

Die Zerlegung der Kräfte ist hier nicht notwendig, da nur Horizontal- und Vertikalkräfte existieren.

3. / 4. Aufstellung der Gleichgewichtsbedingung und Auflösung

Horizontale Gleichgewichtsbedingung:

Da keine äußeren Horizontalkräfte existieren, ist auch die Lagerkraft gleich null. Diese ist somit nicht notwendig anzubringen.

Vertikale Gleichgewichtsbedingung

Es existieren zwei Unbekannte, weshalb das Momentengleichgewicht herangezogen werden muss.

Der Bezugspunkt kann nun entweder bei oder gesetzt werden. Wird dieser bei gesetzt, so fallen und aus der Berechnung raus, da die Wirkungslinien bereits den Bezugspunkt schneiden und es kann die Lagerkraft berechnet werden. Liegt der Bezugspunkt bei , so fällt aus der Berechnung heraus und es kann berechnet werden ( schneidet die Wirkungslinie des Bezugspunktes bei , fällt also raus). Der Bezugspunkt wird nun bei gelegt. Es müssen nun alle Kräfte berücksichtigt werden, dessen Wirkungslinie nicht diesen Punkt schneidet. Die Stützkraft hat einen senkrechten Abstand zum Bezugspunkt von 2 m. D.h. man muss die Stützkraft parallel zu sich selbst um 2 m nach rechts verschieben, bis die Wirkungslinie von den Bezugspunkt schneidet. Als nächstes muss noch die Drehrichtung beachtet werden. Die Stützkraft drückt den Balken nach unten, nach rechts und dann nach oben (also GEGEN den Uhrzeigersinn) um den Bezugspunkt . Das Vorzeichen muss also positiv sein. Genau so geht man auch mit der Kraft und der Kraft vor.

Alle Momente drehen hier gegen den Uhrzeigersinn, werden also positiv.

Es kann nun die Lagerkraft bestimmt werden:

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Das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft nicht nach oben gerichtet ist (wie in der Grafik angenommen), sondern nach unten gerichtet. 

Es kann nun die Lagerkraft durch die obige vertikale Gleichgewichtsbedingung bestimmt werden:

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Die Lagerkraft kann auch bestimmt werden, indem der Bezugspunkt bei gesetzt wird:

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Es sind nun alle Lagerkräfte bekannt.