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Nun folgt das erste von zwei Anwendungsbeispielen zum Thema: Geschwindigkeit berechnen.
Beispiel
Gegeben sei die folgende Bahnkurve:
1. Bestimmung der Geschwindigkeit
Es wird zunächst der Geschwindigkeitsvektor bestimmt und dann der Betrag gebildet. Der Geschwindigkeitsvektor bestimmt sich durch Ableitung der Bahnkurve nach
Methode
Danach wird der Betrag des Geschwindigkeitsvektors berechnet:
Methode
Das ist die allgemeine Geschwindigkeitsformel für die obige Bahnkurve. Es muss nun noch die Geschwindigkeit für die Zeiten
Methode
Das sind die Geschwindigkeiten zu den unterschiedlichen Zeitpunkten eines Punktes, welcher auf der obigen Bahnkurve unterwegs ist. Diese werden z.B. in
2. Bestimmung der Strecke zwischen den Punkten
Die Strecke zwischen den Punkten wird über die Änderung des Ortsvektors bestimmt.
Methode
Es wird nun der Betrag des Ortsvektors gebildet:
Methode
Hierbei handelt es sich nun um die Strecke (z.B. in m) zwischen den zwei Punkten mit
Methode
Es wird nun der Betrag des Ortsvektors gebildet:
Methode
Die Strecken zwischen den Punkten zu unterschiedlichen Zeitpunkten sind nochmals unten in der Grafik visualisiert:
In der obigen Grafik ist die Bahnkurve eingezeichnet und die Punkte zu den unterschiedlichen Zeitpunkten. Dabei wird zwischen jedem Punkt eine konstante Zeitdifferenz von
Zwischen dem Ursprung und dem Punkt A ist die Strecke
Aufgrund der gleichen Zeitdifferenzen zwischen den Punkten, kann man eine Aussage über den zeitlichen Verlauf der Bewegung treffen. Die Bewegung des Punktes entlang der Bahnkurve wird zunehmend schneller, was durch die immer größeren Strecken zwischen den Punkten gekennzeichnet ist. Der Punkt legt mit wachsender Zeit in gleichen Zeitabschnitten
Man sollte wissen, dass die angegebenen Werte
Methode
Für die obige Bahnkurve zwischen den Punkten A (t=1) und B (t=2) wäre die Bogenlänge dann zu berechnen durch:
Methode
Um daraus dann die Bahngeschwindigkeit
3. Bestimmung der mittleren Bahngeschwindigkeit
Die mittlere Bahngeschwindigkeit berechnet sich durch:
Methode
Die mittlere Bahngeschwindigkeit zwischen Punkt A (t=1) und Punkt C (t=3) beträgt:
Methode
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