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Nachdem wir die allgemeine Bewegung eines Massenpunktes im Raum sowie die gradlinige Bewegung betrachtet haben, wollen wir uns als nächstes der Kreisbewegung zuwenden. Eine Kreisbewegung ist die Bewegung eines Körpers auf einer Kreisbahn. Hierbei wird auch wieder der Massenpunkt eines Körpers betrachtet.
In der obigen Grafik ist ein Massenpunkt zu sehen, welcher sich zum Zeitpunkt
Zum Zeitpunkt
Wir können dann den Differenzwinkel, den der Massenpunkt überstrichen hat, bestimmen durch:
und die Zeitdifferenz, in welcher der Massenpunkt diesen Differenzwinkel durchläuft mit:
Wenn wir davon ausgehen, dass die Kreisbewegung bei
Gleichförmige Kreisbewegung
Handelt es sich um eine kreisförmige Bewegung mit einer konstanten Bahngeschwindigkeit
Tangentialbeschleunigung
Man könnte meinen, dass es sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung um eine gleichförmige Bewegung handelt, weil eine konstante Bahngeschwindigkeit
Wenn die Bahngeschwindigkeit
Allerdings handelt es sich bei der gleichförmigen Kreisbewegung um eine beschleunigte Bewegung. Grund dafür ist, dass zwar die Schnelligkeit des Körpers konstant bleibt, sich seine Richtung aber ständig ändert, da er sich sonst auf einer Geraden bewegen würde. Wie wir bereits im Abschnitt Bahnbeschleunigung kennengelernt haben, kann die Beschleunigung in eine Tangential- und in eine Normalbeschleungiung unterteilt werden. Die Tangentialbeschleunigung ist dafür zuständig, dass der Körper seine Schnelligkeit verändert. Diese Tangentialbeschleunigung ist bei der gleichförmigen Kreisbewegung gleich Null, da die Bahngeschwindigkeit
Die Tangentialbeschleunigung ergibt sich zu:
Methode
Tangentialbeschleunigung:
Die Tangentialbeschleunigung ist also die Ableitung der Bahngeschwindigkeit
Methode
Normalbeschleunigung
Die Normalbeschleunigung (auch: Radialbeschleunigung, Zentripetalbeschleunigung) ist für die Richtungsänderung eines Körpers zuständig. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung ist diese ungleich Null, weil der Körper seine Richtung ständig ändern muss, damit dieser sich nicht auf einer Geraden bewegt, sondern eine Kreisbewegung durchführt.
Die Normalbeschleunigung ergibt sich zu:
Methode
Normalbeschleunigung:
mit
Die Normalbeschleunigung bezeichnet die Richtungsänderung eines Massenpunktes pro Zeit.
Eine volle Umdrehung entspricht dabei einem Winkel von
Methode
Winkelgeschwindigkeit
Bei Kreisbewegungen wird anstelle der Bahngeschwindigkeit
Methode
mit
Zur Berechnung der Winkelgeschwindigkeit
Betrachtet man infinitesimal kleine Zeitabschnitte
Methode
Das bedeutet also, die Ableitung des Winkels nach der Zeit
Trennung der Veränderlichen führt dann auf:
Integration führt dann wieder auf die obige Formel:
Winkel berechnen
Den überstrichenen Winkel
Methode
bzw.
Bei einer gleichförmigen Kreisbewegung überstreicht der Ortsvektor eines Körpers in gleichen Zeitabschnitten
Die Winkelgeschwindigkeit wird in Radiant pro Sekunde angebenen:
Methode
Einheit:
Bei der Winkelgeschwindigkeit handelt es sich - wie bei der Bahngeschwindigkeit - um einen Skalar. Bei der gleichförmigen Kreisbewegung, bei welcher die Winkelgeschwindigkeit konstant bleibt, existiert also nur eine mögliche Richtung, welche ebenfalls unverändert bleibt. Die Richtung ist senkrecht zur Drehebene.
Rechte-Hand-Regel
Die Rechte-Hand-Regel ermöglicht die Richtung der Winkelgeschwindigkeit zu bestimmen. Dazu wird die rechte Hand so verwendet, dass die Finger der rechten Hand mit den Innenseiten in die Richtung zeigen müssen, in die auch die Drehbewegung stattfindet. Der Daumen zeigt dann die Richtung der Winkelgeschwindigkeit an.
Umlaufzeit und Drehzahl
Während einer Umdrehung wird wird ein Winkel von
Methode
Die obige Formel gibt die Zeit
Die Drehzahl gibt die Anzahl der vollständigen Umdrehungen pro Zeit an:
Methode
Dabei ist
Die Drehzahl besitzt dieselbe Einheit wie die Winkelgeschwindigkeit, wird aber oft in Umdrehungen pro Sekunden angebeben, um die Unterscheidung vornehmen zu können:
Methode
Einheit:
Manchmal wird die Drehzahl auch in Hertz angegeben, mit
Obwohl diese Einheit eher bei Schwingungen verwendet wird.
Winkelgeschwindigkeit/Bahngeschwindigkeit
Aus der Winkelgeschwindigkeit kann die Bahngeschwindigkeit
Methode
Die Bahngeschwindigkeit
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