Sonderfall: Kreisbewegung

In diesem Abschnitt wird die ebene Bewegung in Polarkoordinaten am Sonderfall der Kreisbewegung aufgezeigt.

Der Sonderfall einer ebenen Bewegung ist die Kreisbewegung. Bei dieser ist und der Basisvektor besitzt immer die Richtung der Bahntangente im Punkt . 

In der obigen Grafik sind im ersten Kreis die Basisvektoren (immer in Richtung ) und zu sehen. Beide Basisvektoren stehen orthogonal (im 90°-Winkel) zueinander. Der Winkel ist derjenige Winkel zwischen der positiven -Achse und dem Basisvektor . Vergleicht man nun den zweiten Kreis, in welchem der Geschwindigkeitsvektor (tangential zur Bahnkurve) abgetragen ist, so sieht man deutlich, dass der Basisvektor genau die selbe Richtung aufweist wie der Geschwindigkeitsvektor. Der Geschwindigkeitsvektor besitzt bei der Kreisbewegung nur eine skalare Komponente, die Tangentialbeschleunigung , welche tangential zur Kreisbahn liegt (siehe unten). Der dritte Kreis zeigt die beiden Komponenten des Beschleunigungsvektors. Es existiert eine Normalbeschleunigung , welche auf das Zentrum zeigt und die Tangentialbeschleunigung , welche tangential zur Bahn liegt. Im Folgenden werden diese Komponenten aufgezeigt.

Der Ortsvektor lautet in Polarkoordinaten:

Geschwindigkeitsvektor

Die erste Ableitung des Ortsvektors nach der Zeit ergibt den Geschwindigkeitsvektor.

Da fällt der Term mit weg (Ableitung einer Konstanten ergibt Null):

Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass . Der Geschwindigkeitsvektor ergibt sich also zu: 

Die skalare Komponente ist für die Geschwindigkeit bei einer Kreisbewegung die

Für die Geschwindigkeit existiert demnach bei einer Kreisbewegung nur eine skalare Komponente. Das bedeutet, dass . Der Geschwindigkeitsvektor liegt immer tangential an der Bahnkurve im betrachteten Punkt.

Beschleunigungsvektor

Der Beschleunigungsvektor ergibt sich durch die zweite Ableitung des Ortsvektors bzw. durch die erste Ableitung des Geschwindigkeitsvektors:

Mit ergibt sich:

Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass:

Einsetzen ergibt:

Die beiden skalaren Komponenten des Beschleunigungsvektors bei einer Kreisbewegung sind die

Das Minuszeichen bei der Normalbeschleunigung bedeutet, dass diese Komponente nach innen gerichtet ist. D.h., sie zeigt auf den Mittelpunkt des Kreises (siehe obige Grafik). Diese Komponente wird deswegen auch Zentripetalbeschleunigung genannt.

Die gesamte skalare Beschleunigung ergibt sich dann zu:

Winkelgeschwindigkeit und Winkelbeschleunigung

Die erste Ableitung des Winkels nach der Zeit ergibt die Winkelgeschwindigkeit . Die Winkelgeschwindigkeit ist also die Änderung des Winkels innerhalb einer bestimmten Zeit. Ist diese konstant, so ergibt sich keine Änderung des Winkels mit der Zeit.

Die zweite Ableitung des Winkels ergibt die Winkelbeschleunigung (manchmal auch: ). Die Winkelbeschleunging ist also die Änderung der Winkelgeschwindigkeit innerhalb einer bestimmten Zeit. Ist die Winkelbeschleungiung konstant, so ändert sich die Winkelgeschwindigkeit mit der Zeit nicht.

Wird nun für die obigen Gleichung (Winkelgeschwindigkeit) und (Winkelbeschleunigung) eingesetzt, so ergeben sich die folgenden Gleichungen:

Die gesamte Geschwindigkeit als Skalar lässt sich dann bestimmen zu:

Für den Beschleunigungsvektor ergibt sich dann:

Die gesamte Beschleunigung als Skalar lässt sich somit berechnen zu:

Konstante Winkelgeschwindigkeit

Ist die Winkelgeschwindigkeit konstant, so ergibt die Ableitung .  Damit ist auch die Umfangsgeschwindigkeit Null:

für .

Die Radialbeschleunigung hingegen ist dann nicht Null:

für .

Damit ändert sich nur die Bewegungsrichtung, weil sich die Radialbeschleunigung ändert. Die Geschwindigkeit hingegen ändert sich nicht, weil die Umfangsbeschleunigung zu Null wird. Das bedeutet also:

Häufig wird der Gedankenfehler gemacht eine gleichförmige Kreisbewegung bedeute, dass keine Beschleunigung gegeben ist. Dies ist nicht richtig. Die Umfangsbeschleunigung ist Null, d.h. die Geschwindigkeit ist konstant. Aber die Richtung ändert sich ständig, d.h. es tritt eine Beschleunigung auf, die Radialbeschleunigung.

Anwendungsbeispiel: Kreisbewegung in Polarkoordinaten

Bei einer gleichmäßigen beschleunigten Kreisbewegung ist die Winkelbeschleunigung konstant:

Die Winkelbeschleunigung ergibt sich durch die 2. Ableitung des Winkels nach der Zeit bzw. durch die 1. Ableitung der Winkelgeschwindigkeit nach der Zeit .

Die Winkelgeschwindigkeit errechnet sich demnach durch die Integration:

Da gilt:

Das Schwungrad befindet sich in der Anfangsposition bei in Ruhe, d.h. :

Es wird also zunächst die Winkelgeschwindigkeit bestimmt.

Winkelgeschwindigkeit

Die Winkelgeschwindigkeit kann mittels der Drehzahl und des Kreisumfanges bestimmt werden.

Die Drehzahl gibt in diesem Beispiel die Umdrehungen pro Minute an. Die Umdrehungen pro Minute werden auch angegeben in oder in . In diesem Beispiel ist die Umdrehung pro Minute .

Eine volle Kreisumdrehung entspricht einem Winkel von . Die Winkelgeschwindigkeit wird demnach bestimmt, indem die Drehzahl pro Minute und der Umfang des Kreises () den das Schwungrad umläuft miteinander multipliziert werden. Dann hat man zunächst die Winkelgeschwindigkeit pro Minute gegeben:

Dabei ist  die Winkelgeschwindigkeit eines Körpers, der seinen Drehwinkel pro Minute um einen Radiant () ändert. Demnach ändert das Schwungrad seinen Drehwinkel pro Minute um 5026,55 Radianten.

Die Drehzahl ist laut Aufgabenstellung nach erreicht. Die Winkelgeschwindigkeit muss also in Sekunden berechnet werden:

Die Winkelgeschwindigkeit pro Sekunde ist:

Das entspricht der Winkelgeschwindigkeit des Schwungrads, der seinen Drehwinkel pro Sekunde um 83,78 Radianten ändert. Im SI-Einheitssystem ist Radiant der Name für die dimensionslose SI-Einheit m/m. Aufgrund dieser Eigenschaften kann er in Rechnungen auch einfach durch 1 ersetzt werden, d. h. 1 rad = 1. 

Winkelbeschleunigung

Als nächstes kann die Winkelbeschleunigung bestimmt werden. Die Winkelgeschwindigkeit ließ sich berechnen durch:

.

Umstellen nach ergibt:

Es wird nun die Winkelbeschleunigung für bestimmt:

Umdrehungen

Um als nächstes die Umdrehungen des Schwungrades in der Zeit zu bestimmen, muss der Winkel bestimmt werden. Diese kann aus der folgenden Beziehung berechnet werden:

Es gilt: . Einsetzen:

Integration führt zu (mit und ):

Für gilt dann der Winkel:

Einsetzen von und ergibt sich:

.

Dieser hier angegeben Winkel (in Bogenmaß) wird nach 20 Sekunden und -Umdrehungen erreicht. Es ist also der gesamte Winkel nach einer Zeit von . Um nun die -Umdrehungen zu bestimmen, muss durch geteilt werden. ist ein Vollkreis angegeben in Bogenmaß. Und dieser Vollkreis entspricht genau einer Umdrehung. Um nun die gesamten Umdrehungen nach einer Zeit von zu bestimmen, berechnet man:

Man kann das Ganze statt in Bogenmaß auch in Winkelmaß bestimmen. Dies soll hier gezeigt werden, da die Erläuterungen mittels Winkelmaß übersichtlicher sind. Das Ergebnis ist natürlich dasselbe.

Zunächst wird der Winkel in Winkelmaß umgerechnet:

.

Nach 20s erreicht das Schwungrad demnach einen gesamten Winkel von 48.013,86° bei -Undrehungen. Es muss nun durch 360° (=Vollkreis) geteilt werden, da eine Umdrehung genau den 360° entspricht. Das bedeutet -Umdrehungen entsprechen 48.013,86°. Unter Anwendung des Dreisatzes erhält man dann die Umdrehungen für den Winkel von 48.013,86°:

Geschwindigkeit und Beschleunigung

Es wird nun die Geschwindigkeit und die Beschleunigung für bestimmt. Die Geschwindigkeit (in Skalar) ist bei einer ebenen Kreisbewegung ist angegeben durch:

Einsetzen von ergibt:

Die Beschleunigung bestimmt sich durch die zwei skalaren Komponenten:

Einsetzen von ergibt:

Es ergibt sich demnach eine Beschleunigung von: