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Aus dem vorherigen Abschnitt ist bekannt, dass der Arbeitssatz zwischen zwei Bahnpunkten
Methode
mit
Besitzen die eingeprägten Kräfte
Besitzen die eingeprägten Kräfte
Methode
Zum Nachweis, ob es sich bei den eingeprägten Kräften
Auflösen ergibt (Determinante berechnen):
Daraus ergibt sich als Zusammenfassung:
Methode
Ist die obige Bedingung erfüllt, so handelt es sich um eingeprägte Kräfte die ein Potential besitzen.
Merke
Kräfte mit Potentialen sind die Gewichtskraft und die Federkraft.
Die Gewichtskraft hat das Potential
Die Federkraft hat das Potential
Energiesatz
Im vorherigen Abschnitt wurde der Arbeitssatz geschrieben als:
Besitzen die eingeprägten Kräfte ein Potential, so ergibt sich der Arbeitssatz zu:
Setzt man nun beide Formel gleich, so erhält man:
Durch Umformung erhält man den Energiesatz:
Methode
Der Energiesatz besagt, dass die Summe aus der potentiellen und kinetischen Energie am Punkt
Merke
Der Energiesatz gilt nur dann, wenn die eingeprägten Kräfte
Beispiel: Energiesatz
Beispiel
Gegeben sei der obige Stein
Welche Kräfte existieren und besitzen diese ein Potential?
In der Lage
Methode
Es ist aber zusätzlich auch kinetische Energie vorhanden, da die Anfangsgeschwindigkeit im Punkt
Methode
Im Punkt
Das Minuszeichen resultiert daraus, dass nun der Abstand zum Bezugsniveau negativ ist. Im Punkt
Zusätzlich zu der potentiellen Energie der Gewichtskraft, muss nun auch die potentiellen Energie der Federkraft berücksichtigt werden. Der Stein trifft auf die Feder auf, demnach wirkt noch die Federkraft auf diesen. Die potentielle Energie der Federkraft (siehe Text) ergibt sich zu:
Zusammen ergibt sich also die potentielle Energie zu:
Methode
Die kinetische Energie im Punkt
Methode
Es kann nun der Energiessatz angewandt werden:
Einsetzen der obigen Gleichungen:
Methode
Einsetzen der bekannten Werte (Federkonstante muss noch in N/m umgerechnet werden):
Zusammenfassen:
Umformen:
Es kann nun mittels p,q-Formel nach
Es kann nun die p,q-Formel angewandt werden:
Dabei ist
Der Wert
Anderes Bezugsniveau, gleiches Ergebnis
Alternativ hätte man von Anfang an das Bezugsniveau bei der maximalen Zusammendrückung
Die kinetische Energie wäre weiterhin:
Für den Punkt
Grund dafür ist, dass der Stein sich im Punkt
Die potentielle Energie für die Federkraft ist:
Die kinetische Energie ist hier wieder Null:
Der Energiesatz lautet demnach:
Klammer auflösen ergibt:
Methode
Der Energiesatz entspricht genau dem obigen. Das weitere Vorgehen ist also analog zu oben.
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