Arbeitssatz

Der Arbeitssatz zwischen zwei Bahnpunkten und für den Massenpunkt ist bereits im Abschnitt Arbeitssatz des vorherigen Kapitels Kinetik des Massenpunktes aufgezeigt worden:

Für einen Massenpunkt in einem Massenpunktsystem ergibt sich der Arbeitssatz zwischen zwei Bahnpunkten und zu:

Die rechte Seite der Gleichung stellt die Änderung der kinetischen Energie über die Zeitdifferenz dar. Das bedeutet also, dass die kinetische Energie des Massenpunktes zum Zeitpunkt ist und die kinetische Energie des Massenpunktes zum Zeitpunkt .

Die linke Seite der Gleichung ist die Arbeit der auf den Massenpunkt wirkenden Kräfte. Auf den Massenpunkt wirken innere Kräfte und äußere Kräfte (siehe Abschnitt: Massenmittelpunktsatz). Der Arbeit ergibt sich allgemein zu:

Für einen Massenpunkt eines Massenpunktsystems ergibt sich die Arbeit aus der Summe der inneren Kräfte und aus der Summe der äußeren Kräften auf diesen Massenpunkt. Es ergibt sich demnach die Arbeit des Massenpunktes zu:

Es muss wieder berücksichtigt werden, dass die Arbeit des Massenpunktes nur durch eingeprägte Kräfte verrichtet werden kann. Eingeprägte Kräfte sind diejenigen Kräfte, welche nicht senkrecht auf der Bewegungsebene stehen. Das bedeutet also, dass alle Kräfte die senkrecht auf der Bewegungsebene stehen nicht berücksichtigt werden dürfen.

Wird nun die Arbeit des Massenpunktsystems betrachtet, so müssen die Arbeiten der einzelnen Massenpunkte miteinander addiert werden:

Es ergibt sich also für den Arbeitssatz des Massenpunktsystem:

Massenpunktsystem mit starren Bindungen

Sind die einzelnen Massenpunkte eines Massenpunktsystems durch starre Bindungen miteinander verknüpft, so heben sich die inneren Kräfte gegenseitig auf und die Arbeit verkürzt sich zu:

Der Arbeitssatz des Massenpunktsystem ergibt sich dann durch:

Beispiel: Arbeitssatz Massenpunktsystem

Es handelt sich hierbei um eine starre Stange und damit um eine starre kinematische Bindung. Der Arbeitssatz lautet demnach:

Das Freikörperbild sieht wie folgt aus:

Arbeit Kiste A

Es werden zunächst die Arbeiten der einzelnen Kisten betrachtet. Für die Kiste ist im Freikörperbild deutlich zu erkennen, welche Kräfte auf diese wirken. Dabei werden Kräfte senkrecht zur Bewegungsebene nicht einbezogen, da diese Kräfte keine Arbeit verrichten. In diesem Fall fällt also die Normalkraft und die Komponente der Gewichtskraft aus der Berechnung heraus. Es verbleibt die Reibungskraft entegen der Bewegungsrichtung und die Komponente der Gewichtskraft in Richtung der Bewegung. Die Arbeit allgemein für die Kiste ergibt sich zu:

Es handelt sich hierbei um eine Bewegung in -Richtung, weshalb . Einsetzen der Kräfte ergibt:

Die Reibunsgkraft wird bestimmt durch das Newtonsche Grundgesetz in -Richtung:

Die Kräfte in -Richtung sind:

Da keine Bewegung in -Richtung stattfindet, ist :

Einsetzen in die Arbeit ergibt:

Es gilt zudem :

Integration:

Zusammenfassen:

Arbeit Kiste B

Die Arbeit der Kiste wird genau so bestimmt:

Die Reibungskraft ergibt sich ebenfalls aus dem Newtonschen Grundgesetz für die -Richtung:

Da auch hier keine Bewegung in -Richtung stattfindet, ergibt sich nach Einsetzen von und :

Einsetzen in die Arbeit :

Mit ergibt sich:

Integration:

Zusammenfassen:

Arbeit insgesamt

Die gesamte Arbeit wird durch Addition der einzelnen Arbeiten bestimmt:

Die kinematische Bindung muss noch berücksichtigt werden. Die Bewegungen der Kisten sind durch die starre Stange voneinander abhängig. Bewegt sich die Kiste um , so bewegt sich aufgrund der starren Verbindung auch die Kiste um , d.h.:

Berücksichtigung von :

Einsetzen der Werte:

Es wird also insgesamt eine Arbeit von verrichtet.

Geschwindigkeit bestimmen

Die Geschwindigkeit kann mittels des Arbeitssatzes bestimmt werden. Der Arbeitssatz für das Massenpunktsystem mit starren Bindungen ergibt sich zu:

Einsetzen:

Die kinematische Beziehung hat ergeben:

Einmaliges Ableiten führt zu:

            v^A_1 = v^B_1$

Einsetzen in den obigen Arbeitssatz:

Da die Anfangsgeschwindigkeit für beide Kisten gleich Null ist, gilt:

Einsetzen der Werte und auflösen nach :

Die Geschwindigkeit der beiden Kisten beträgt .