Gesamtimpuls / Impulssatz

In diesem Abschnitt wird der GesamtImpuls und der Impulssatz für das Massenpunktsystem aufgeführt.

Gesamtimpuls des Massenpunktsystems

Der Gesamtimpuls eines Massenpunktes ergibt sich zu (siehe Kapitel Impulssatz des vorherigen Kapitels):

Der Gesamtimpuls für ein Massenpunkt eines Massenpunktsystems ist demnach:

Der Gesamtimpuls des Massenpunktsystems ist dann die Summe aus den Gesamtimpulsen der einzelnen Massenpunkte:

Auch hier wird wieder der Orstvektor des Massenmittelpunktes bzw. Schwerpunktes des Systems eingeführt (siehe vorherigen Abschnitt):

Umformen der Gleichung:

Dabei ist die gesamte Masse des Systems, also die Summe aus den Massen der einzelnen Massenpunkte. Einmaliges Ableiten der obigen Gleichung führt zu:

Mit ergibt sich dann:

Es wird nun in die obige Gleichung eingesetzt:

Diese Gleichung stellt ebenfalls den Gesamtimpuls des Massenpunktsystems dar. Der Gesamtimpuls kann also entweder nach der obigen Gleichung (Summe der Gesamtimpulse aller Massenpunkte eines Massenpunktsystems) oder mit dieser Gleichung bestimmt werden. Bei der unteren Gleichung wird der Gesamtimpuls bestimmt durch die Gesamtmasse des Systems und der Schwerpunktsgeschwindigkeit . Dabei ist hier der Schwerpunkt des Massenpunktsystems gemeint.

Impulssatz des Massenpunktsystems

Wird nun diese Gleichung nach der Zeit abgeleitet, so ergibt sich:

Mit ergibt sich:

Das Newtonsche Grundgesetz für das Massenpunktsystem ergibt sich zu: . Bei der Summation der inneren Kräfte heben diese sich gegenseitig auf, weshalb: . Einsetzen die obige Gleichung ergibt:

Das bedeutet also, dass die zeitliche Änderung des Gesamtimpulses  des Massenpunktsystems gleich der Summe der Resultierenden aller äußeren Kräfte ist.

Umstellen der Gleichung nach:

Die Integration der obigen Gleichung führt dann auf den Impulssatz:

Der Impulssatz besagt also, dass die Integration der Resultierenden aller äußeren Kräfte des Massenpunktsystems zwischen zwei Zeitpunkten gleich der Differenz der Impulse zwischen diesen Zeitpunkten ist. Existieren keine äußeren Kräfte, so ist und damit die Differenz der Impulse zwischen zwei Zeitpunkten null. Das bedeutet der Gesamtimpuls ist dann konstant:

Anwendungsbeispiel: Impulssatz

Es wirken hier nur innere Kräfte, da keine äußeren Kräfte an die Massen angreifen und auch keine Gewichtskraft vorliegt (schwereloser Raum, keine Gravitation, d.h. ). Es exsitieren also nur innere Kräfte . Innerhalb des Impulssatzes werden nur die äußeren Kräfte berücksichtigt. 

Impulssatz:

mit :

Der Impuls bleibt also konstant:

Das bedeutet, dass der Impuls vor dem Zerspringen des Massenpunktes gleich dem Impuls nach dem Zerspringen ist. Da die Massenpunkte sich in der Ebene bewegen, wird ein -Koordinatensystem eingeführt:

Die Geschwindigkeiten werden in ihre - und -Komponenten zerlegt. Der Impulssatz ist konstant, also der Anfangsimpuls ist gleich der Summe der Endimpulse.

In -Richtung:

Da sich der Massenpunkt in Ruhe befindet, gilt und damit:

Einsetzen der Komponenten:

Einsetzen der Werte:

(1)

In -Richtung:

Da sich der Massenpunkt in Ruhe befindet, gilt und damit:

Einsetzen der Komponenten:

Das Minuszeichen bei resultiert daher, dass die Geschwindigkeitskomponente in negative -Richtung zeigt.

Einsetzen der Werte:

(2)

Auflösen nach :

(3)

Einsetzen in die obige Gleichung (1):

Einsetzen in (3):