Querkraftbiegung

In diesem Abschnitt soll die einachsige QuerkraftBiegung veranschaulicht werden. Im Gegensatz zur reinen Biegung wirkt bei der Querkraftbiegung eine äußere Querkraft auf den Balken. Die Belastung findet in der -Ebene statt. Das bedeutet, dass ein Moment um die -Achse auftritt und zusätzlich eine Querkraft berücksichtigt werden muss. 

Aus der Statik ist bekannt, dass und daher gilt hier:

Es liegen nun zwei Schnittreaktionen vor:

1. Biegemoment,

2. Querkraft

und infolgedessen kommt es auch zum Auftreten von Schubspannungen im Querschnitt. 

In diesem Fall haben die Schubspannungen folgende Eigenschaften: 

1. Nicht gleichförmig über den Querschnitt verteilt.

2. Am oberen Rand gleich null.

3. Am unteren Rand gleich null.

4. Am Rand existiert keine äußere Schubbelastung.

5. Das Maximum der Schubspannung findet sich im Bereich der neutralen Faser.

6. Verändert sich die Schubspannung, so muss sich auch die Gleitung ändern [Hookesches Gesetz].

7. Infolge der Schubspannungen kommt es zur Querschnittswölbung im Zusammenhang mit der Querkraftbiegung. 

Dehnung

Die Dehnung in -Richtung infolge des Biegemoments äußert sich formal durch:

Der Zusammenhang zwischen der Verschiebung und der Drehung des Querschnitts ist gegeben durch:

Setzt man nun den Term für ein, so erhält man für die Dehnung:

Verschiebung

Die Verschiebung in -Richtung, also die Absenkung des Balkens, wird durch ausgedrückt. Es wird angenommen, dass alle Elemente des Balkenquerschnitts eine identische Verschiebung erfahren. Diese Annahme wird schließlich in der Schubverformung berücksichtigt. Wie bereits bekannt ist, wirken Verschiebungen immer in zwei Koordinatenrichtungen, daher gilt:

Fasst man diese Gleichung erneut zusammen, erhält man für die Schubverformung:

Beachtet man die kinematischen Zusammenhänge und das Hookesche Gesetz, so lässt sich die Normal- und Schubspannung letztlich formulieren durch: 

Relation zwischen Schnittmoment und Normalspannung

Um nun die Normalspannungen bei Querkraftbiegung aus den Schnittgrößen bestimmen zu können, betrachtet man das Biegemoment . Auch hier gilt (wie bereits im Abschnitt über die reine Biegung aufgeführt):

Einsetzen der Gleichung  

Ausgehend von einem konstanten E-Modul ergibt sich dann:

Mit :

Diese Gleichung nach auflösen und einsetzen in die Gleichung   :

Es ergibt sich die gleiche Beziehung wie bei der reinen Biegung. Es gelten demnach für die Querkraftbiegung alle anderen Zusammenhänge:

Schubspannungen

Der Unterschied zur reinen Biegung liegt darin, dass zusätzlich Schubspannungen auftreten. Es soll hierbei auf die Herleitung verzichtet werden und nur die Formel für die Berechnung der Schubspannung aufgeführt werden. Die Schubspannung an einer Stelle ergibt sich dann zu:

Die maximale Schubspannung befindet sich in der Profilmitte bei . Das bedeutet also:

Im folgenden Abschnitt wird gezeigt, wie bei einer einachsigen Querkraftbiegung die Normalspannung und die Schubspannung bestimmt werden.