Hauptträgheitsmomente / Hauptachsen

Die axialen Flächenträgheitsmomente , und das Deviationsmoment sind - wie in den voherigen Abschnitten gezeigt - zunächst auf ein beliebiges Koordinatensystem bezogen. Bei Drehung des Koordinatensystems um den Schwerpunkt - Koordinatentransformation - ändern sich alle drei Flächenträgheitsmomente. Es gibt eine bestimmte Stellung des Koordinatensystems bei welcher die axialen Flächenträgheitsmomente ihr Maximum bzw. Minimum annehmen. Das Deviationsmomente verschwindet in diesem Fall. Nehmen die Flächenträgheitsmomente ihr Maximum an, so ist die Rede von Hauptträgheitsmomenten und . 

Wir betrachten zunächst den Trägheitstensor:

Wird das Achsensystem so gedreht, dass das Deviationsmoment verschwindet, so befinden sich nur noch die axialen Flächenträgheitsmomente und im Trägheitstensor. Wir können dann das Eigenwertproblem heranziehen:

Hierbei ist die Einheitsmatrix:

Einsetzen in die Formel:

Bestimmung der Determinante:

Auflösen der Klammern:

Die obige quadratische Gleichung in die Normalform überführen (wobei ):

Zusammenfassen:

Die Nullstellen dieser quadratischen Funktion entsprechen den Hauptträgheitsmomenten. Die Nullstellen können mit der p/q-Formel berechnet werden:

Hierbei ist            Abhängig von

                  Unabhängig von

Einsetzen in die p/q-Formel:

Die obige Gleichung kann noch weiter zusammengefasst werden. Dazu ziehen wir den Nenner 2 unter der Wurzel aus dem Quadrat heraus:

Danach wird die Klammer mittels 1. Binomischer Formel aufgelöst:

Terme in die Klammer ziehen:

Zusammenfassen:

Anwendung der 2. Binomischen Formel auf die ersten drei Summanden unter der Wurzel:

 Hierbei stehen und für die Extremwerte der axialen Flächenträgheitsmomente.

Der Hauptwinkel , um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss damit die Hauptträgheitsmomente auftreten, beträgt (Herleitung siehe Abschnitt Hauptspannungen):

\tan (2 \alpha^*) = \frac{2 I_{yz}}{(I_{y} - I_{z})} yzz$-Achse.

Für unsymmetrische Querschnitte bezüglich der -Achsen (z.B. ein L-Träger) können die Hauptachsen über die Drehung des -Koordinatensystems bestimmt werden. Die Drehung erfolgt über den Winkel , welcher auch als Hauptrichtung bezeichnet wird. Ergibt sich ein positiver Winkel, so muss das -Koordinatensystem mit einer Linksdrehung um den Winkel gedreht werden. Ergibt sich ein negativer Winkel, so erfolgt die Winkelabtragung in einer Rechtsdrehung.

Anwendungsbeispiel: Hauptträgheitsmomente

Der obige rechteckige Querschnitt eines Balkens hat die Flächenträgheitsmomente:

.

Das bedeutet die Flächenträgheitsmomente sind auch gleichzeitig die Hauptträgheitsmomente, da das Deviationsmoment ist. Das liegt daran, dass mindestens eine Achse eine Symmetrieachse darstellt. In diesem Fall stellen beide Achsen eine Symmetrieachse dar. Es handelt sich also um ein doppelt symmetrischen Querschnitt. Die -Achsen sind demnach auch gleichzeitig Hauptachsen des Querschnitts. 

Anwendungsbeispiel 2: Hauptträgheitsmomente und Hauptachsen

Gegeben sei ein Balken mit folgendem Querschnitt:

Es ist deutlich zu erkennen, dass weder die -Achse noch die -Achse Symmetrieachsen darstellen. Demnach sind diese Achsen keine Hauptachsen und es handelt sich um einen asymmetrischen Querschnitt bezüglich der - Achsen. Es sollen im Folgenden die Hauptträgheitsmomente und die zugehörigen Hauptachsen bestimmt werden.

Zunächst müssen die Flächenträgheitsmomente bezüglich der -Achsen bestimmt werden. Die Formel kann dem folgenden Abschnitt entnommen werden: Übersicht: Flächenträgheitsmomente für ausgewählte Querschnitte.

.

Die Hauptträgheitsmomente können mit der folgenden Formel bestimmt werden:

Es kann als nächstes die Hauptrichtung bestimmt werden. Hierbei handelt es sich um die Drehung des -Koordinatensystems um einen Winkel, bei welchem die Flächenträgheitsmomente ihren Extremwert annehmen. Die dazugehörigen Achsen bezeichnet man als Hauptachsen:

Es handelt sich um einen positiven Winkel, also erfolgt die Drehung um 25,1° in Linksrichtung: