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In diesem Abschnitt wird ein weiteres Beispiel zur Koordinatentransformation aufgezeigt.
Beispiel: Koordinatentransformation mit unterschiedlichen Schnittrichtungen
Beispiel
Gegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen a-a und b-b bekannt sind.
Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt c-c!
Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es wird zunächst der Schnitt a-a betrachtet:
Wir gehen wie immer in der Ausgangssituation von einer horizontalen
Wir betrachten dann den Schnitt a-a. Es wird ein horizontaler Schnitt durch das Bauteil (z.B. Scheibe) durchgeführt. Die Normalspannung
Wir legen nun also die
Es gilt also:
Methode
Gegeben ist allerdings nicht die Normalspannung
Merke
Nicht vergessen: Die Schubspannungen, welche ein vertauschtes Indexpaar besitzen, sind identisch, also
Es ist aber zusätzlich noch der Schnitt b-b gegeben:
Der Schnitt b-b ist im 135°-Winkel zur unteren x-Achse gegeben. Bei der Koordinatentransformation legt man nun die neue
Merke
Da IM Uhrzeigersinn gedreht wird, ist
Die Formeln aus dem vorherigen Abschnitt gelten für positives
Methode
Es ist nun also so, dass zum einen die Normalspannung und Schubspannung für den Schnitt a-a und für den Schnitt b-b gegeben ist. Für die Anwendung der Formeln zur Koordinatentransformation müssten ebenfalls die Normalspannungen für die dazu senkrechten Schnitte gegeben sein, also
Methode
Die Summe der beiden senkrecht aufeinander stehenden Normalspannungen ist für jeden Schnitt gleich (Invariante 1).
Wir können die Formel auf die beiden obigen Schnitte anwenden:
(1)
Demnach ergibt sich für die zweite Invariante:
(2)
Einsetzen der Werte in (1):
Auflösen nach
(3)
Einsetzen in (2):
Auflösen nach
Methode
Einsetzen in (3) um
Methode
Für den Schnitt a-a und b-b haben wir nun beides mal positive Spannungen ermittelt.
Bestimmung der Spannungen für den Schnitt c-c mittles a-a
Da nun die fehlende Normalspannung
Dies entspricht der Drehung des
Die Formeln für die Koordinatentransformation sind:
Es wird vom Schnitt a-a ausgegangen. Die Spannungen sind gegeben bzw. berechnet worden. Für den Schnitt c-c wird dieses dann um 135° in positive Drehrichtung gedreht (
Es ist deutlich zu erkennen, dass die Normalspannungen im Gegensatz zum Schnitt b-b vertauscht sind. Das liegt daran, dass der Schnitt b-b senkrecht (im 90°-Winkel) zu dem Schnitt c-c liegt.
Bestimmung der Spannungen für den Schnitt c-c mittels b-b
Alternativ hätte man auch als Ausgangschnitt den Schnitt b-b wählen können, um die Spannungen für den Schnitt c-c zu bestimmen. Der Schnitt c-c steht senkrecht (im 90°-Winkel) auf dem Schnitt b-b. Wählt man nun also die Spannungen für den Schnitt b-b als Ausgangssituation, so muss man das Koordinatensystem also um 90° in positive Richtung (mit dem Uhrzeigersinn) drehen, um die Spannungen für den Schnitt c-c zu erhalten:
Es werden nun die Spannungen
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