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Beispiel
Gegeben sei die obige Scheibe, für welche die Normalspannungen und Schubspannungen für die dort angegebenen Schnittrichtungen 1-1 und 2-2 bekannt sind.
(a) Bestimmen Sie die Spannungen für den Schnitt 3-3!
(b) Bestimmen Sie den Winkel
Die obigen Schnitte sollen zunächst getrennt voneinander betrachtet werden, damit die Vorgehensweise verständlich wird. Es wird zunächst der Schnitt 1-1 betrachtet:
Aus der Aufgabenstellung wird deutlich, dass für die Schnittrichtung 1-1 die Normalspannung
Gegeben ist allerdings nicht die Normalspannung
Merke
Nicht vergessen: Die Schubspannungen, welche ein vertauschtes Indexpaar besitzen sind identisch, also
Es ist aber zusätzlich noch der Schnitt 2-2 gegeben:
Der Schnitt 2-2 ist im 120°-Winkel zur x-Achse gegeben. Bei der Koordinatentransformation legt man nun die neue gedrehte
Es ist nun also so, dass zum einen die Normalspannung und Schubspannung für den Schnitt 1-1 und für den Schnitt 2-2 gegeben sind. Für die Anwendung der Formeln zur Koodinatentransformation müssten ebenfalls die Normalspannungen für die dazu senkrechten Schnitte gegeben sein, also
Methode
Das bedeutet also, dass die Summe aus den Normalspannungen für den Schnitt 1-1 und einen senkrechten Schnitt dazu plus die Normalspannungen für den Schnitt 2-2 und einen senkrechten Schnitt dazu gleich sein muss. Man setzt nun die gegebenen Werte ein:
Auflösen nach
Einsetzen in
Auflösen nach
Methode
Einsetzen in
Methode
(a1) Bestimmung der Spannungen für den Schnitt 3-3 mittels 1-1
Da nun die fehlenden Normalspannungen bekannt sind, können als nächstes für den Schnitt 3-3 die Spannungen bestimmt werden. Der Schnitt 3-3 wird in einem Winkel von 30° zur x-Achse durchgeführt (siehe Aufgabenstellung). Dies entspricht der Drehung des Koordinatensystems um 60° gegen den Uhrzeigersinn. Es liegt demnach eine positive Drehrichtung und damit ein positiver Winkel
Die Formeln für die Koordinatentransformation sind:
Es wird vom Schnitt 1-1 ausgegangen und dem Schnitt senkrecht dazu. Die Normalspannung für den Schnitt 1-1 beträgt
Merke
Für den Schnitt 3-3 wäre die Berechnung der Spannung
(a2) Bestimmung der Spannungen für den Schnitt 3-3 mittels 2-2
Alternativ hätte man auch als Ausgangsschnitt den Schnitt 2-2 wählen können, um die Spannungen für den Schnitt 3-3 zu bestimmen. Der Schnitt 2-2 weist eine Drehung mit dem Uhrzeigersinn von 30° auf, der Schnitt 3-3 eine Drehung gegen den Uhrzeigersinn um 60°. Wenn man nun von 2-2 ausgeht, so muss man das Koordinatensystem also um 90° gegen den Uhrzeigersinn drehen (positives
Es wird dann die Normalspannung von Schnitt 2-2 benötigt mit
(b) Bestimmung des Winkels für die Hauptnormalspannung unter dem Schnitt 4-4
In diesem Abschnitt wird nun der Winkel
Zunächst wird der Drehwinkel bestimmt unter welchen die Hauptnormalspannungen auftreten, also derjenige Winkel, um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Normalspannungen ihren maximalen Wert annehmen:
Methode
Bestimmung mit dem Schnitt 1-1 und dem dazu Senkrechten:
Die Normalspannung für den Schnitt 1-1 beträgt
Es werden nun diese Werte in die Gleichung eingesetzt:
Methode
Das Ausgangskoordinatensystem für welchen der Schnitt 1-1 und der dazu senkrechte Schnitt vorliegen, muss nun um 10,9° gegen den Uhrzeigersinn (da positives
Es ist nun zunächst der Winkel bestimmt worden, unter welchem das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptnormalspannung auftritt. Gefragt wurde hier allerdings nach dem Winkel, unter welchem der Schnitt durchgeführt werden muss. Die neue
Es soll als nächstes die für diesen Schnitt 4-4 zugehörige Normalspannung bzw. Hauptnormalspannung bestimmt werden. Die Normalspannung steht immer senkrecht auf dem Schnitt:
Die oben eingezeichnete Normalspannung soll nun also bestimmt werden. Es kann jetzt die Formel
angewandt werden, um die obige Hauptnormalspannung zu bestimmen (der Winkel
Nach dieser Hauptnormalspannung ist aber nicht gefragt, sondern nach der für den Schnitt 4-4. Mit der folgenden Formel kann diese nun also bestimmt werden:
Da als Ausgangssituation der Schnitt 1-1 und der dazu senkrechte verwendet worden sind, um den Winkel für die Hauptnormalspannungen zu bestimmen, müssen auch diese Werte wieder hier eingesetzt werden, also
Handelt es sich hierbei um die Hauptnormalspannung
Bestimmung mit dem Schnitt 2-2 und dem dazu Senkrechten:
Es kann natürlich auch die Bestimmung des Winkels
Das Ausgangskoordinatensystem für den Schnitt 2-2 (um 30° gegen den Uhrzeigersinn gedrehtes) muss nun um 40,9° gegen den Uhrzeigersinn gedreht werden (da positives
Es entsteht wieder dasselbe Koordinatensystem wie beim Schnitt 1-1 als Ausgang. Es werden nun die Spannungen
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