Inhaltsverzeichnis
Die Krümmung
bzw. der Betrag von
Besitzt
Es lässt sich in der Ebene zudem bestimmen, ob eine Krümmung positiv oder negativ ist. Positiv ist die Krümmung, wenn die Kurve sich in Richtung des zuvor bestimmten Normalenvektors krümmt (also nach links) und negativ, wenn die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts).
Merke
Das Krümmungsmaß einer Kurve an einem bestimmten Punkt kann über den Radius eines Kreises errechnet werden, indem der Kehrwert des Krümmungskreisradius gebildet wird. Ein großer Kreisradius bedeutet eine schwache Krümmung und ein kleiner Radius bedeutet eine starke Krümmung.
Beispiel:
Krümmungsmittelpunkt
Der Krümmungsmittelpunkt wird wie folgt bestimmt:
bzw.
Überblick über die verschiedenen Darstellungsarten der Krümmung
| Kurve | Krümmung |
| Explizit | |
| Parameter | |
| Polarkoordinaten |
Negative Krümmung
Beispiel
Gegeben sei die Funktion:
Bestimmung von Tangenten- und Normalenvektor
Zum besseren Verständnis wird der Tangenten- und Normalenvektor ebenfalls berechnet (siehe entsprechende Kapitel).
Der dazugehörige Tangentenvektor ist:
Für
Der dazugehörige Normalenvektor ist:
Für
Grafisch bedeutet dies:
Bestimmung der Krümmung
Zuerst wird der Krümmungsradius für
Als nächstes wird die Krümmung der Kurve in diesem Punkt ermittelt:
Die Krümmung der Kurve für
Für den Krümmungsmittelpunkt ergibt sich:
Das Krümmungsmaß
Das negative Vorzeichen besagt, dass die Krümmung in die entgegengesetzte Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach rechts) bzw. dass die Funktion in diesem Punkt konkav ist.
Merke
Ist die Krümmung negativ, so ist die Funktion an dieser Stelle konkav. Ist die Krümmung hingegen positiv, so ist die Funktion an dieser Stelle konvex.
Positive Krümmung
Beispiel
Gegeben sei erneut die Funktion:
Der dazugehörige Tangentenvektor ist:
Für
Der dazugehörige Normalenvektor ist:
Für
Der Radius ist:
Die Krümmung ist:
Für den Krümmungsmittelpunkt ergibt sich:
Das Krümmungsmaß
Das positive Vorzeichen besagt, dass die Krümmung in Richtung zum Normalenvektor verläuft (also nach links) bzw. dass die Funktion in diesem Punkt konvex ist.
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