In der nächsten Betrachtung soll herausgefunden werden, welchen Einfluss die Änderung des Schnittwinkels und die Drehung des ebenen Koordinatensystems [x,y] um einen Winkel auf die Spannungskomponenten haben.
Drehung des Koordinatensystems
Dazu wird als erstes die folgende Scheibe und die dazugehörigen Spannungen in der --Ebene betrachtet:
Spannungskomponenten in der Ebene
Die resultierende Spannungsmatrix ist:
Es wird nun der Einfluss der Drehung des Koordinatensystems [x,y] um den Winkel auf die Spannungskomponenten untersucht. Hierzu wird das Koordinatensystem im mathematisch positiven Sinn [gegen den Uhrzeigersinn] um den Winkel gedreht. Es entsteht ein neues Koordinatensystem mit den Richtungen und .
Drehung des Koordinatensystems
Als nächstes wird ein dreieckförmiges Scheibenelement so herausgeschnitten, dass der Normalenvektor in -Richtung zeigt. Da der Normalenvektor senkrecht (im 90° Winkel) auf der Querschnittsfläche liegt, muss der Schnitt also so erfolgen, dass dieser senkrecht zum Normalenvektor durchgeführt wird. Die Normalspannung steht ebenfalls senkrecht auf der Querschnittsfläche des herausgeschnittenen Dreiecks:
Herausgeschnittenes Dreieck
Der Winkel des Dreiecks wurde übernommen, da der Normalenvektor den Winkel zur Horizontalen (x-Achse) besitzt und senkrecht auf der Querschnittsfläche steht. Somit hat die Vertikale (-Achse) den Winkel zur Querschnittsfläche . Die Querschnittsfläche für die Bereiche und muss berechnet werden. Dazu wird die Winkelberechnung Sinus und Kosinus eines Dreiecks herangezogen:
Aufstellen der Gleichgewichtsbedingungen
Mittels der obigen Grafik können nun die Gleichgewichtsbedingungen aufgestellt werden:
in Normalenrichtung:
in Tangentialrichtung (parallel zu dA):
Auflösen der beiden Gleichungen nach und nach ergibt unter Berücksichtigung von :
Änderung des Schnittwinkels
In einem nächsten Schritt soll der Schnittwinkel geändert werden. Die Querschnittsfläche soll jetzt so gewählt werden, dass der Normalenvektor in -Richtung zeigt. Das bedeutet also, dass das ganze Dreieck um 90° in positive Richtung (gegen den Uhrzeigersinn) gedreht werden muss. Der Schnitt muss wieder so durchgeführt werden, dass der Normalenvektor senkrecht auf der Querschnittsfläche steht:
Änderung des Schnittwinkels
Es soll nun die Normalspannung berechnet werden. Diese wirkt senkrecht auf die neue Schnittfläche. Hierzu setzt man in die obigen Gleichungen statt ein. Unter Berücksichtigung von und folgt:
Unter Verwendung der trigonometrischen Beziehungen erhält man die Spannungskomponenten des gedrehten Koordinatensystems:
Merke
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Trigonometrische Umformungen
Es ist deutlich zu erkennen, dass . Zugeordnete Schubspannungen, also jene mit gleichem Index, sind immer gleich und zeigen entweder beide auf eine Ecke hin oder von einer Ecke weg. Beim zweiten Dreieck wurde nach unten gerichtet angenommen. Da aber eigentlich zur Ecke hin zeigen müsste (siehe folgende Grafik), können wir diese Schubspannung mit -1 multiplizieren und erhalten dann:
(Alternativ hätte man auch beim ersten Dreieck nach unten gerichtet wählen können und so lassen können, dann würden beide von einer Ecke weg zeigen und somit wären diese auch gleich. Dann hätte man in der unteren Grafik die linke Ecke zur Veranschaulichung gewählt!).
Scheibe im gedrehten Koordinatensystem
Die resultierende Spannungsmatrix ist dann:
mit (zugeordnete Schubspannung / zeigen beide auf eine Ecke im Koordinatensystem mit , -Richtung).
Merke
Hier klicken zum AusklappenEin Vergleich dieser Spannungsmatrix mit der ursprünglichen Spannungsmatrix zeigt, dass die Summe der Hauptdiagonalen und die Determinante der beiden Matrizen unabhängig von der Drehung des Koordinatensystems und damit unabhängig vom Drehwinkel ist. Diese mathematische Tatsache beschreiben die Invarianten.
Für I. gilt, dass und miteinander addiert werden und es resultiert :
