Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird die Hauptschubspannung aufgezeigt. Diese liegt vor, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen. Zunächst folgt die Herleitung der Hauptrichtung (Winkel) für die Hauptschubspannung, danach werden die Hauptschubspannungen hergeleitet. Zum Abschluss werden die benötigten Formeln nochmals zusammengefasst.
Herleitung der Hauptrichtung für die Hauptschubspannung
Wie im vorherigen Abschnitt zur Bestimmung der Normalspannungen, erfolgt auch die Berechnung der Hauptschubspannungen unter Bildung der ersten Ableitung aus der Ausgangsgleichung
Bildung der ersten Ableitung:
Daraus folgt mit
Methode
Das kann auch geschrieben werden als:
Zusammenhang mit der Normalspannung
Aus dem Vergleich von
besteht.
Man kann auch für
Aus der allgemeinen Beziehung
erhält man durch den Vergleich für die Hauptspannungswinkel mit
Es ergibt sich die folgende Gleichung für die Berechnung des Winkels bei Vorliegen der Hauptschubspannung:
Methode
Aus dieser Gleichung lässt sich folgende Aussage formulieren:
Merke
Für
Herleitung der Hauptschubspannung
Die zu diesen zwei Schnittrichtungen gehörenden Schubspannungen, also die Hauptschubspannungen, erhält man, indem man
Zunächst erfolgt wieder die Umschreibung mit den trigonometrischen Beziehungen:
Einsetzen ergibt:
Die Hauptrichtung
Nun erfolgt die Umrechnung:
_________________________________________________________________________________
1. Summand
Der Term unter dem Bruch wieder auf einen Nenner bringen:
Da dieser Bruch unter dem Bruchstrich steht, wird er mit dem Kehrwert multipliziert:
Gekürzt:
2. Summand
Da dieser Bruch unter dem Bruchstrich steht, wird er mit dem Kehrwert multipliziert:
Gekürzt:
_________________________________________________________________________________________________
Für
Für
Insgesamt ergibt sich also die folgende Gleichung für die Hauptschubspannungen:
Zieht man nun die Gleichung für die Hauptnormalspannung heran (vorheriger Abschnitt), so sieht man deutlich, dass sich die Gleichung um den Term
Methode
Diese verkürzte Gleichung der Hauptschubspannung entspricht der Gleichung der Hauptnormalspannung, reduziert um den Term
Es besteht zudem die Möglichkeit die Hauptschubspannung in Abhängigkeit der Hauptnormalspannung auszudrücken:
Methode
Die beiden letzten Gleichungen sind die wichtigen Gleichungen zur Bestimmung der Hauptschubspannung.
Zusammenfassung der Gleichungen
Für die Berechnung der Hauptschubspannung kann die folgende Formel verwendet werden:
Methode
Alternativ kann man die Hauptschubspannung auch aus den Hauptnormalspannungen bestimmen:
Methode
Die dazugehörige Hauptrichtung, der Winkel also um welchen das Ausgangskoordinatensystem gedreht werden muss, damit die Hauptschubspannung auftritt, wird bestimmt zu:
Methode
Um den Winkel zu bestimmen, muss die Gleichung nach
Methode
Nicht vergessen den resultierenden Winkel noch durch
Alternativ kann der Winkel aus der Hauprichtung der Hauptnormalspannung
Methode
Normalspannung bei Hauptschubspannungen
Es stellt sich noch die Frage, welchen Wert die Normalspannungen annehmen, wenn die Schubspannungen ihre Extremwerte annehmen. Die Normalspannungen nehmen dann ihren mittleren Wert an. Dieser kann berechnet werden zu:
Methode
Zusammenfassend kann gesagt werden:
Merke
Merke
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Extremwerte
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Extremwerte (Funktionen mehrerer Veränderlicher) aus unserem Online-Kurs Analysis und Gewöhnliche Differentialgleichungen interessant.
-
Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen)
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Extremwerte der Normalspannungen (Hauptnormalspannungen) (Mehrachsige Spannungszustände) aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 2: Elastostatik interessant.