Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt werden Beispiele zum Hookeschen Gesetz für mehrachsige Spannungszustände aufgeführt. Die Gleichungen aus den vorherigen Kapiteln finden hier ihre Anwendung.
Beispiel 1: Hookesches Gesetz im ebenen Spannungszustand
Beispiel
Gegeben sei das obige Stück Metall mit
Wie groß sind die Dehnungen
Den Gleitwinkel
Der Gleitwinkel drückt die Änderung des Winkels nach der Verformung aus. Vor der Verformung besaß das Metallstück einen Winkel von 90°. Nach der Verformung nur noch einen Winkel von 89,5°. Die Differenz ist also die Winkeländerung.
Aus dem Gleitwinkel
Das Schubmodul lässt sich bestimmen durch den folgenden Zusammenhang:
Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss das Winkelmaß
Es kann nun die Schubspannung bestimmt werden:
Methode
Die Einzeldehnungen können aus den Ausgangsabmessungen und deren Änderungen bestimmt werden:
Es können nun die Normalspannungen bestimmt werden:
Methode
Aus den Normalspannungen können nun mittels der Dehnungsgleichungen aus dem Abschnitt Hookesches Gesetz für den ebenen Spannungszustand die Dehnungen bestimmt werden:
Methode
Merke
Wiederholung:
Treten Belastungen in
und zusätzlich dazu noch Querdehnungen in
Analog für Belastungen in
Querdehnungen:
Treten nun beide Spannungen
Dies entspricht genau den obigen Formeln.
Es müssen auch noch die Dehnungen in
Nach Letzterem ist in der Aufgabenstellung aber nicht gefragt!
Beispiel 2: Hookesches Gesetz für den ebenen Verzerrungszustand
Beispiel
Gegeben sei der obige Aluminiumblock, welcher zwischen zwei starren Wänden eingespannt ist. Die Ausgangsabmessungen seien wie folgt:
Welche Dehnungen treten auf und wie groß sind diese? Wie groß sind die Normalspannungen
Aufgrund der oberen und unteren starren Wand findet keine Dehnung in
Daraus kann die Normalspannung
Methode
Der Block ist in
Die Gesamtdehnung
Methode
Die Gesamtdehnung
Methode
Die Normalspannung
Methode
Nachdem nun die Spannungen
Umstellen nach den Kräften:
Das Minuszeichen vor der Kraft bedeutet einfach, dass die resultierende Horizontalkraft in Richtung der negativen
Das Minuszeichen vor der Kraft bedeutet, dass die resultierende Vertikalkraft in Richtung der negativen
Man kann diese beiden Kräfte auch als eine einzige resultierende Kraft ausdrücken:
Es handelt sich hierbei um den Betrag der Resultierenden. Um nun die Richtung der Resultierenden anzugeben, wird der Winkel zwischen der Resultierenden und der Horizontalkraft
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