Inhaltsverzeichnis
Der Zusammenhang zwischen Spannung und elastischer Verformung wird durch das Hookesche Gesetz beschrieben und wurde für den einachsigen Fall bereits im Kapitel Stabbeanspruchungen behandelt. Das Hookesche Gesetz soll im Folgenden auf den räumlichen Fall ausgeweitet werden.
Dehnungen im Raum
Um die allgemeine Abhängigkeit zwischen Spannungen und Dehnungen zu ermitteln, wird das Hookesche Gesetz für den einachsigen Fall und das Gesetz von Poisson herangezogen und mittels Überlagerungsprinzip (Superposition) entwickelt.
Die Normalspannungen
und eine Querdehnung in y- und z-Richtung:
Für die Normalspannung
Werden nun die Normalspannungen
Methode
Dehnungen im Raum
Merke
Sind für die Dehnungen die Ausgangsabmessungen und die Änderungen der Abmessungen gegeben, so kann man die Einzeldehnung auch bestimmen zu (hier anhand von
Methode
mit
Spannungen im Raum
Aus den Dehnungen im Raum kann man durch Umstellen nach den Normalspannungen das allgemeine Hookesche Gesetz für den räumlichen Dehnungszustand ermitteln:
Methode
Allgemeines Hookesches Gesetz
Ist die Querschnittsfläche
Methode
Für die einzelnen Normalspannungen der unterschiedlichen Richtungen ergibt sich dann:
Schubspannungen im Raum
Den Zusammenhang zwischen Schubspannungen
Methode
Hookesche Gesetz für Schubverformung
Für den räumlichen Fall gilt:
Methode
Der Zusammenhang zwischen Schubmodul
Methode
Schubspannungen haben eine Gestaltänderung zur Folge. Normalspannungen eine Volumenänderung.
Beispiel: Hookesches Gesetz für den räumlichen Fall
Beispiel
Gegeben sei ein Quader unter dreiachsiger Beanspruchung. Die Ausgangslänge betrage
Gesucht werden die Dehnungen
Da die Ausgangsabmessungen und die Änderungen der Abmessungen nach der Beanspruchung gegeben sind, kann man die Einzeldehnungen ganz einfach bestimmen:
Um daraus die Gesamtdehnung zu bestimmen, müssen zunächst die Normalspannungen bestimmt werden. Diese können mit den folgenden Zusammenhängen bestimmt werden:
Es können nun die Gesamtdehnungen bestimmt werden:
Analog für die Dehnungen in
Ergibt sich eine negative Dehnung, so liegt eine Stauchung des Körpers in dieser Richtung vor. In diesem Fall liegt eine Stauchung des Quaders in
Beispiel: Spannungen und Dehnungen im Raum
Beispiel
Es soll wieder der obige Quader gegeben sein mit
Gesucht werden die Dehnungen
Man kann zunächst die Normalspannungen bestimmen durch:
Die Gesamtdehnungen ergeben sich dann aus:
Analog für die Dehnungen in
Ergibt sich eine negative Dehnung, so liegt eine Stauchung des Körpers in dieser Richtung vor. In diesem Fall liegt eine Stauchung des Quaders in
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