Inhaltsverzeichnis
In diesem Abschnitt wird der ebene Spannungszustand aufgeführt. Ein ebener Spannungszustand in der (x,y)-Ebene bewirkt einen räumlichen Verzerrungszustand (auch: Dehnungszustand). Das bedeutet, dass die Spannungen
Eines der Ziele des Hookeschen Gesetzes ist es einen Zusammenhang zwischen statischen Größen [Spannungen] und kinematischen Größen [Verzerrungen] herzustellen. Hierzu bedient man sich des Stoffgesetzes.
Dehnungen
Dehnung infolge σx
Nimmt man beispielsweise ein viereckiges Bauteil und belastet dieses durch eine Normalspannung
Methode
wobei
Das Bauteil erfährt aber nicht nur eine Verlängerung, sondern zusätzlich auch Stauchung in
Methode
Diese proportionale Abhängigkeit gibt die Querkontraktionszahl
Dehnung infolge σy
Analog erzeugt die Normalspannung
Methode
Wird das Bauteil in y-Richtung gedeht, so erfolgt auch eine Stauchung (=negative Dehnung) in x-Richtung. Diese Querdehnung in x-Richtung infolge
Methode
Dehungen infolge σy und σy
Treten nun sowohl Normalspannungen in x-Richtung (
Methode
Der erste Term der Dehnung
Der erste Term der Dehnung
Anmerkung:
Zwar werden hier die Dehnungen im ebenen Zustand betrachtet und auch weiterhin für diesen ausgeführt, trotzdem soll darauf hingewiesen werden, dass die beiden Spannungen
Merke
Das bedeutet also, dass ein ebener Spannungszustand immer noch einen räumlichen Verzerrungszustand erzeugt. Die Dehnung
Relation Schubspannung - Gleitung/Gleitwinkel
Nach der Herleitung des Zusammenhangs zwischen Normalspannungen und Dehnungen, gilt es in einem zweiten Schritt auch eine Relation zwischen Schubspannungen
Methode
Umgeformt ergibt sich:
Merke
Schon an den Indizes lässt sich erkennen, dass eine Schubspannung nur auf die entsprechende Gleitung einwirkt.
Der Zusammenhang zwischen Elastizitätsmodul, Querkontraktionszahl und Schubmodul ist für isotrope Materialien wie folgt:
Methode
Merke
Merke
Normalspannungen verursachen keine Gleitung, und eine Schubspannung verursacht keine Dehnungen.
Zusammenfassung: Ebener Spannungszustand
Methode
Dehnungen im ebenen Spannungszustand
Auflösung der Gleichungen nach den Spannungen liefert:
Methode
Ein ebener Spannungszustand (
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