Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

In diesem Abschnitt folgt ein Beispiel zum Mohrschen Spannungskreis. Ganz unten auf der Seite folgt ein weiteres Beispiel, welches ihr euch als PDF ausdrucken könnt.

Beispiel: Mohrscher Spannungskreis

Zeichnung des Mohrschen Spannungskreises

Zeichnen des Mohrschen Spannungskreises aus den gegebenen Werten durch Festlegung eines sinnvollen Maßstabes.

Der Mohrsche Spannungskreis wird wie im vorherigen Abschnitt gelernt, so eingezeichnet, dass die Punkte und miteinander verbunden werden. Dort wo diese Verbindungslinie die -Achse schneidet, liegt der Mittelpunkt und somit die mittlere Normalspannung . Der Kreis kann nun vom Mittelpunkt aus durch die beiden Punkte gezeichnet werden.

Hauptspannungen und Hauptrichtung

Die Hauptspannungen und befinden sich auf dem äußersten Rand des Kreises auf der -Achse, da dort die Schubspannung ist. Es gilt . Das bedeutet, dass immer rechts von liegt. Die Werte können einfach abgelesen werden und ergeben:

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Rechnerische Probe:

Die Hauptrichtung wird so eingezeichnet, dass von der Verbindungslinie ( - ) aus zur -Achse der Winkel gemessen wird. Der Winkel zur negativen -Achse gilt dabei für die Hauptnormalspannung , der Winkel zur positiven -Achse zur Hauptnormalspannung . In der obigen Grafik ist nur der Winkel zur negativen -Achse (zur gehörend) eingezeichnet:

Der Winkel zur positiven -Achse von der Verbindungslinie ( - ) ausgehend ergibt (nicht eingezeichnet):

Rechnerische Probe:

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Da beide Hauptnormalspannungen senkrecht aufeinander stehen, können wir die andere Hauptrichtung wie folgt bestimmen: \sigma_{x^*} = \frac{1}{2} (-30 + 20) + \frac{1}{2} ( -30 - 20) \cos (2 \alpha) - 10 \sin (2 \alpha) . Daraus folgt, dass der Winkel zur Hauptnormalspannung gehört.

Hauptschubspannung

Die Hauptschubspannung befindet sich dort, wo die mittlere Normalspannung gegeben ist:

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Rechnerische Probe:

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Hauptrichtungen zeichnerisch

Die Hauptrichtungen werden mit dem Winkel wie folgt eingezeichnet. Von aus durch den Punkt ergibt die Hauptrichtung für . Von durch den selben Punkt ergibt die Hauptrichtung für (siehe auch vorherigen Abschnitt).

Koordinatentransformation

Der Drehwinkel ist positiv. Es handelt sich also um die Linksdrehung des Ausgangskoordinatensystems um 40° zur x-Achse. Um die Normalspannungen und Schubspannung für den Winkel zu erhalten, muss der Winkel von der Verbindungslinie zu aus abgetragen werden. Im Mohrschen Spannungskreis erfolgt die Abtragung entgegen der Drehung des Koordinatensystems, also in einer Rechtsdrehung MIT dem Uhrzeigersinn:

Nachdem der Winkel abgetragen wurde, wird eine Verbindungslinie mit diesem Winkel vom Mittelpunkt aus gezogen. Dort wo die Verbindungslinie den Kreis schneidet, liegt der gesuchte Punkt :

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Rechnerische Probe:

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