Inhaltsverzeichnis
In den vorherigen Kapiteln sind die Spannungen und Verformungen aufgezeigt worden, welche durch äußere Belastungen an einem Stab auftreten können. In diesem Abschnitt soll die Differentialgleichung eines Stabes aufgezeigt werden mittels welcher man die Verschiebung berechnen kann.
Methode
Um Spannungen und Verformungen innerhalb eines Stabes zu bestimmen, kann auf die drei Gleichungen zurückgegriffen werden:
1. Die Gleichgewichtsbedingung
2. Die kinematische Beziehung
3. Das Elastizitätsgesetz.
Gleichgewichtsbedingung
Die Gleichgewichtsbedingung wird entweder für einen kleinen Ausschnitt des Stabes oder für den gesamten Stab aufgestellt. Die Aufstellung der Gleichgewichtsbedinungen sollte bereits aus der Statik bekannt sein und wird hier anhand eines Stabelements durchgeführt. In der folgenden Grafik ist ein Stab mit veränderlichem Querschnitt zu sehen. Dieser wird an beiden Enden mit den Kräften
Es wird nun die horizontale Gleichgewichtsbedingung am unteren Stabelement angewandt:
Kürzen ergibt:
Aus dieser Gleichgewichtsbedingung lässt sich durch Division von
Methode
Sollte die Linienkraft
Die kinematische Beziehung ist bereits aus den vorherigen Abschnitten bekannt und lautet:
Methode
Anschließend fehlt noch das Elastizitätsgesetz (Hookesche Gesetz
Methode
Elastizitätsgesetz des Stabes
Nachdem alle drei Gleichungen aufgestellt wurden, setzt man in das Elastizitätsgesetz die kinematische Beziehung ein und ersetzt
Methode
Dabei ist
Differentialgleichung des Stabes
In einem letzten Schritt wird nun das Elastizitätsgesetz für den Stab nach
Methode
Die Striche ' stehen für die Ableitungen nach
Merke
Diese Differentialgleichung lässt sich dann durch zweimaliges integrieren lösen.
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