Statisch unbestimmte Stabwerke (Einzelstab)

In diesem Abschnitt geht es um Statisch unbestimmte Probleme. Diese lassen es nicht mehr zu, dass die Normalkraft eines Stabes allein aus der Gleichgewichtsbedingung heraus bestimmt werden kann. Die neue Gegebenheit erfordert eine Betrachtung aller Gleichungen gleichzeitig. Auch Wärmespannungen können durch Temperaturänderungen auftreten und müssen berücksichtigt werden. 

Zum besseren Verständnis folgt nun ein Anwendungsbeispiel:

Anwendungsbeispiel

Wieder stehen die drei bereits bekannten Gleichungen zur Verfügung:

1. Die Gleichgewichtsbedingung

2. Die kinematische Beziehung

3. Das Elastizitätsgesetz.

Gleichgewichtsbedingung

Zur Ermittlung steht nur eine Gleichgewichtsbedingung für den gesamten Stab zur Verfügung:

Es ist nicht möglich oder daraus zu bestimmen.

Kinematische Beziehung

Da nur eine Gleichgewichtsbedingung verfügbar ist, muss die Verformung berücksichtigt werden.

Die Normalkraft zeigt immer in (positive oder negative) x-Richtung. Wenn der Stab also geschnitten wird, folgt die Gleichgewichtsbedingung für den rechten Stabteil:

.

Für den linken Stabteil gilt:

Es folgt . Des Weiteren gilt, dass die Gesamtlängenänderung sein muss, da der Stab zwischen zwei Wänden steckt und sich somit nicht Verlängern oder Verkürzen kann. Hieraus resultiert die geometrische Bedingung:

Für die Längenänderung der beiden Abschnitte muss jeweils gelten:

und [der thermische Anteil fällt hier weg, da nur der rechte Stabteil erwärmt wird]

Eingesetzt erhält man schließlich:

Elastizitätsgesetz

Durch die oben getroffenen Annahmen können nun die Lagerreaktionen bestimmt werden:

Auflösen nach :

 | |

           |:

     |:

     | ein und kürzen

Da und die Lagerreaktionen und bestimmt werden sollen, folgt: