Inhaltsverzeichnis
Es soll im Folgenden das Problem der statischen Unbestimmtheit anhand eines Dreistab-Problems (auch: Naviersche Problem) gelöst werden. Hierzu werden die folgenden drei Stäbe betrachtet mit dem Winkel
Gleichgewichtsbedingungen
Zunächst werden die Gleichgewichtsbedingungen am unverformten Körper aufgestellt:
Daraus folgt:
Daraus folgt:
Es ist deutlich zu erkennen, dass die Stabkräfte aus den Gleichgewichtsbedingungen nicht ermittelt werden können.
Es müssen also zusätzlich die geometrischen Bedingungen (Kinematik der Verformung) berücksichtigt werden, um das Problem zu lösen.
Längenänderung
Im ersten Schritt bestimmt man den Zusammenhang der Stablängen:
und damit:
Merke
Die Längenänderungen ergeben sich wie folgt:
Für die Stäbe gilt also [thermischer Anteil fällt weg, da keine Erwärmung]:
Da
Ersetzen von
ergibt
(1)
Methode
Die Längenänderungen sind also gegeben durch:
Verträglichkeitsbedingung
Die Verträglichkeitsbedingung muss aufgestellt werden, da bei den Stäben das Gefüge (da dieses zusammenhängt) in einem gewissen Verhältnis verschoben wird.
Diese wird an dem bereits verschobenen Gefüge ermittelt. Dazu zeichnet man wieder eine Skizze, welche die Verformung der Stäbe darstellt. Dazu sollte man wissen, dass die tatsächlichen Verformungen so klein sind, dass der Winkel
In der obigen Grafik wurden alle Stäbe verlängert eingezeichnet (gestrichelte Linien). Die äußeren verlängerten Linien (
1. Dreieck:
2. Dreieck:
Das bedeutet:
Methode
Berechnung der Stabkräfte
Längenänderung:
Die Längenänderungen werden in die Verträglichkeitsbedingung eingesetzt:
Aufgelöst nach
(1)
Es können damit die Stabkräfte ermittelt werden, indem
Einsetzen von
Methode
Um die Stabkräfte
Einsetzen von
Methode
Vertikalverschiebung
Als letztes ist noch interessant, wie groß die Vertikalverschiebung des Knotens
Methode
Weitere interessante Inhalte zum Thema
-
Beispiel 2: Ritterschnittverfahren
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Beispiel 2: Ritterschnittverfahren (Fachwerke) aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 1: Statik interessant.
-
Beispiel 1: Ritterschnittverfahren
Vielleicht ist für Sie auch das Thema Beispiel 1: Ritterschnittverfahren (Fachwerke) aus unserem Online-Kurs Technische Mechanik 1: Statik interessant.