Kräftegleichgewicht im Raum

Das KräfteGleichgewicht im Raum ist wie beim Kräftegleichgewicht in der Ebene gegeben, wenn die Resultierende verschwindet, d.h. die Summe aller Kräfte gleich Null ist.

Hierzu müssen die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen ebenfalls den Wert Null besitzen.

. 

Anwendungsbeispiel: Kräftegleichgewicht im Raum

Bevor mit der Berechnung begonnen werden kann, muss als erstes ein Kräfteplan aufgestellt werden:

Im obigen Kräfteplan wurden die drei Dimensionen und hinzugefügt sowie die Winkel , und .

Aufstellung der Gleichgewichtsbedingungen

Aus dem gezeichneten Kräfteplan ist es möglich die drei skalaren Gleichgewichtsbedingungen aufzustellen. Hierzu werden alle Zugkräfte oder Druckkräfte, sowie die Schwerkraft entsprechend ihrer Wirkrichtungen und unter Verwendung der zugehörigen Winkel in die jeweilige Gleichgewichtsbedingung eingetragen.

Gleichgewichtsbedingung in -Richtung

Es werden zunächst alle Kräfte die in -Richtung zeigen innerhalb der Gleichgewichtsbedingung in -Richtung berücksichtigt:

zeigt in Richtung der positiven -Achse, geht also mit einem positiven Vorzeichen und vollem Betrag ein. hat einen Anteil in -Richtung. Die -Komponente dieser Kraft wird mittels bestimmt, wobei diese Kraftkomponente in positive -Richtung zeigt (positives Vorzeichen).

Gleichgewichtsbedingung in -Richtung

zeigt in Richtung der positiven -Achse, geht also mit einem positiven Vorzeichen und vollem Betrag ein. hat einen Anteil in -Richtung. Die -Komponente dieser Kraft wird mittels bestimmt, wobei diese Kraftkomponente in positive -Richtung zeigt (positives Vorzeichen).

Gleichgewichtsbedingung in -Richtung

zeigt in Richtung der negativen -Achse, geht also mit einem negativen Vorzeichen und vollem Betrag ein. hat einen Anteil in -Richtung. Die -Komponente dieser Kraft wird mittels bestimmt, wobei diese Kraftkomponente in positive -Richtung zeigt (positives Vorzeichen).

Mit Hilfe dieser drei Gleichungen ist es möglich die Kräfte zu bestimmen, auch wenn diese derzeit unbekannt sind. Die Bestimmung der einzelnen Kräfte verläuft schrittweise und beginnt in diesem Beispiel mit der dritten Gleichung, da hier schon eine Kraft gegeben ist, nämlich die Schwerkraft .

Bestimmung der Winkel mittels Winkelsätze

Im Vorfeld müssen jedoch noch die einzelnen Winkel bestimmt werden. Dieser Vorgang erfolgt über die Raumdiagonale mit der Gleichung:

Mit Hilfe der Winkelsätze erhält man:  

Bestimmung der Kräfte

Da nun alle notwendigen Werte bekannt sind, kann mit der Bestimmung der unbekannten Kräfte begonnen werden.

Zuerst beginnt man mit der Gleichgewichtsbedingung in z-Richtung:

Da nun bekannt ist, können auch die anderen beiden Gleichungen gelöst werden. 

Einsetzen von in die Gleichungen:

, 

. 

Anhand der Gleichungen ist nun klar, dass es sich bei um eine Zugkraft und bei und um Druckkräfte handelt. Das Minuszeichen bei den Stabkräften soll signalisieren, dass die Kräfte genau entgegengesetzt zur angenommenen Richtung verlaufen. Sie zeigen also nicht vom Körper weg, sondern zum Körper hin (=Druckkräfte).