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In diesem Abschnitt soll gezeigt werden, wie man die Schnittgrößenbereiche mit der Föppl-Klammer darstellt. Die Föppl-Klammer ist eine vereinfachte Schreibweise für die Schnittgrößen. Es handelt sich hierbei um eine von August Föppl eingeführte Schreibweise, welche von Ingenieuren übernommen worden ist.
Die Föppl-Klammer wird formal geschrieben zu:
Der obige Ausdruck bedeutet einfach, dass die Klammer für
Merke
Die Föppl-Klammer ist für
Im Folgenden soll anhand eines Beispiels gezeigt werden, wie man die Schnittgrößenbereiche mittels Föppl-Klammer angeben kann. So entsteht eine vereinfachte Schreibweise.
Anwendungsbeispiel: Föppl-Klammer
Beispiel
Gegeben sei der obige Balken, der durch die Kraft
Lagerkräfte bestimmen
Zunächst werden die Lagerkräfte
Es wird zunächst die vertikale Gleichgewichtsbedingung betrachtet:
Als nächstes wird die horizontale Gleichgewichtsbedingung herangezogen:
Es folgt die Momentengleichgewichtsbedingung um das Lager
Berechnung von
Zusammengefasst ergibt sich:
Methode
Schnittgrößen berechnen
In der obigen Grafik ist nochmals das linke Schnittufer für die Schnittgrößen aufgezeigt. Die Querkraft liegt immer parallel zur Querschnittsfläche, die Normalkraft steht immer senkrecht auf der Querschnittsfläche. Für das rechte Schnittufer werden die Schnittgrößen entgegengesetzt eingezeichnet (Querkraft nach oben, Normalkraft nach links gerichtet und das Moment rechtsdrehend).
Es werden nun zunächst (wie in den vorherigen Abschnitten gezeigt) die Schnittgrößenbereiche bestimmt.
Normalkraft
Da auch horizontale Kräfte
1. Schnitt (zwischen
2. Schnitt (zwischen
Querkraft
Als nächstes wird die Querkraft betrachtet. Hier werden ebenfalls zwei Schnitte durchgeführt. Der erste Schnitt zwischen
1. Schnitt (zwischen
2. Schnitt (zwischen
Biegemoment
Für das Biegemoment müssen nun drei Schnitte durchgeführt werden, da zwischen
1. Schnitt (zwischen
2. Schnitt (zwischen
3. Schnitt (zwischen
Föppl-Klammer
Nachdem nun die Schnittgrößenbereiche ermittelt worden sind, kann als nächstes die Föppl-Klammer verwendet werden, damit die obigen zwei bzw. drei Bereiche jeweils zu einer Gleichung für die verschiedenen Schnittgrößen zusammengefasst werden können.
Normalkraft
Für die Normalkraft sind die folgenden zwei Bereiche ermittelt worden:
Es ist deutlich zu erkennen, dass der erste Summand für beide Bereiche auftritt, dieser kann also schon einmal übernommen werden:
Der zweite Summand für den zweiten Bereich tritt nicht im ersten Bereich auf. Das bedeutet, dass hier die Föppl-Klammer angewandt werden muss. Für den ersten Bereich
Es gilt demnach:
Methode
Es gilt die Definition:
Statt
Tritt der erste Fall ein, also
Tritt der zweite Fall ein, also
Dies entspricht genau den ermittelten zwei Bereichen. Für die Aufgabe ist es nun also das hoch
Querkraft
Für die Querkraft sind die folgenden zwei Bereiche ermittelt worden:
Es gilt wieder, dass der erste Summand für beide Bereiche gegeben ist und damit übernommen werden kann. Der zweite Summand hingegen soll nur für den zweiten Bereich gelten, also für
Es gilt:
Methode
Tritt der erste Fall ein, also
Tritt der zweite Fall ein, also
Biegemoment
Für das Biegemoment ergeben sich nun drei Bereiche:
Es ergibt sich wieder der erste Summand für alle Bereiche. Dieser wird für die Gleichung übernommen. Der zweite Summand gilt für die Bereiche 2 und 3 und der dritte Summand nur für den letzten Bereich.
Die Gleichung ergibt sich wie folgt:
Mit der Definition:
Hier sind nun zwei Föppl-Klammern definiert. Es gilt demnach für
Für
Für
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