Flächenschwerpunkte

Für die Berechnung eines FlächenSchwerpunktes einer Fläche wird die Fläche ebenfalls in kleine Rechtecke zerlegt und dann integriert. Die Bestimmung des Abstandes erfolgt hier nicht nur in -Richtung, sondern auch in -Richtung. In der folgenden Grafik ist eine rechteckige Fläche gegeben mit der Höhe und der Breite . Gesucht wird der Schwerpunkt dieser Fläche .

Um die x-Koordinate des Schwerpunkts zu berechnen, wählt man als Flächenelement einen infinitesimalen Streifen mit der Breite und der Höhe :

Da die Höhe für jedes Teilrechteck überall ist, gilt . Mithilfe der folgenden (bereits bekannten) Formel kann jetzt der Abstand berechnet werden:

Nenner: .  

Zähler: .

Formel anwenden:

Zur Bestimmung von wird das Flächenelement mit der Breite und der Höhe gewählt:

Da die Breite für jedes Teilrechteck überall ist, gilt . Mithilfe der folgenden (bereits bekannten) Formel kann jetzt der Abstand berechnet werden:

Nenner: .  

Zähler: .

Formel anwenden:

Das Ergebnis ist, dass der Schwerpunkt genau in der Mitte des Rechtecks liegt.

Flächenschwerpunkt für zusammengesetzte Flächen

Da in der Praxis häufig Flächen aus mehreren Teilflächen zusammengesetzt sind und man nur deren jeweilige Schwerpunktlage kennt, müssen die obigen zwei Gleichungen entsprechend angepasst werden. 

Da alle Integrale entfallen, erhält man schließlich vereinfacht:

Diese Schreibweise hat gleichzeitig den Vorteil, dass sie problemlos für Flächen mit Aussparungen verwendet werden kann, sofern die "fehlenden" Flächen mit einem negativen Vorzeichen versehen werden. 

Vorgehen für zusammengesetzte Fläche:

1. Zerlegung der Fläche in Teilfläche, für welche die Schwerpunktlage bekannt ist. 

2. Schwerpunkte der Teilflächen eintragen

3. Bezugskoordinatensystem festlegen. Das Bezugskoordinatensystem kann beliebig gewählt werden. Die Abmessungen vom Ursprung des Bezugskoordinatensystems zu den Schwerpunkten müssen gegeben sein.

4. Abstände in und -Richtung bestimmen (sofern -Koordinatensystem zugrunde liegt). Dabei auf negative und positive Abstände achten. Ausgehend vom Bezugskoordinatensystem wird der Abstand positiv gewählt, wenn man sich zum Schwerpunkt der Einzelfläche in positive Achsenrichtung bewegt, ansonsten negativ. Sinnvoll ist es hier das Koordinatensystem so zu legen, dass die gesamte Fläche im 1. Quadraten liegt. Dann sind alle Abstände positiv.

5. Flächeninhalt der Teilflächen bestimmen.

6. Formel für zusammengesetzte Flächen anwenden.

Video: Flächenschwerpunkte berechnen